Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10 môn Toán - Cao Khắc Dũng

 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
 CHUYÊN ĐỀ 1:
ĐẠI SỐ:
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC:
I/ VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
*Các kiến thức cần nhớ:
 + Hằng đẳng thức đáng nhớ
 + Điều kiện để căn thức có nghĩa và A2 A
 + Các phép tính về căn thức: cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa.
 + Các phép biến đổi đơn giản căn thức
 a a2 b a a2 b
 + Công thức căn phức tạp: a b 
 2 2
 (với a, b > 0 và a2 – b > 0 )
Bài 1: Phân tích các biểu thức sau thành luỹ thừa bậc hai
a/ 8 2 15 ; b/ 10 2 21 ; c/ 5 24 ; d/ 12 140 .
e/ 14 6 5 ; f/ 8 28
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau
 1 2
 a/ A 3 3 27 12 ; b/ B 4 7 4 7
 2 2 1
Bài 3:
 1 33 1
 a/ A 28 2 3 7 . 7 84. b/ B 48 2 75 5 1
 2 11 3
 7 2 7 2
 c/ C 
 7 2 7 2
Bài 4:
 1 4
 a/ Tính: A 5 3 5 2 125 ; b/ Tính: B 6 2 5 13 48
 5 5 1
Bài 5: Thực hiện phép tính
 1 4
 a/ A 5 3 3 2 27 ; b/ B 6 2 5 13 48
 3 3 1
 2 1 
 c/ C . 6 2 5
 3 5 2 5 
Bài 6: Thực hiện phép tính
 1 1
 a/ A 28 2 3 7 12 ; b/ B 48 2 75 3 6 1
 2 3
 1 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
Bài 11*: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
 1 1 1
a/ A ; b/ B ; c/ C 
 43 4 23 2 16 1 33 2 23 4 3 a 3 b 3 c
II/ VẤN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI:
*Các kiến thức cần nhớ:
 + Hằng đẳng thức đáng nhớ
 + Điều kiện để biểu thức có nghĩa 
 + Các phép tính về phân thức: cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa.
 + Phương pháp rút gọn biểu thức
 x 1 x 1 1 
Bài 1: Cho biểu thức A 4 x x 
 x 1 x 1 x 
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A A .
 x 2 x 1 x 1 
Bài 2: Cho biểu thức B 1: 
 x x 1 x 1 x x 1 
a/ Rút gọn B
b/ Với mọi x > 0 và x khác 1. Chứng minh rằng B > 3.
 x y x y
Bài 3: Cho biểu thức C 
 xy y xy x xy
a/ Rút gọn C
b/ Tính giá trị của C khi x 3 2 2 ; y 3 2 2
 x x 2007
c/ Cho biết . Tính giá trị của biểu thức C.
 y y 2008
 3 x 5 5 x 2 x 5
Bài 4: Cho biểu thức D 
 x 1 x 2 x x 2
a/ Rút gọn D
b/ Tìm x để D = 2.
 x 1 2 x 
Bài 5: Cho biểu thức E 1 : 
 x 1 x 1 x x x x 1 
a/ Rút gọn E
 7
b/ Tìm x để E 
 4
 3 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
III. VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
***Phương pháp giải:
 g(x) 0(2)
 f (x) g(x)(1) 2
+ Dạng 1: f (x) g(x) (3)
Giải phương trình (3). Đối chiếu với điều kiện (2) rồi chọn nghiệm thích hợp.
 g(x) 0(2)
 f (x) g(x)(3)
 f (x) g(x)(1) 
+ Dạng 2: f (x) 0(2')
 g(x) f (x)(3')
Giải phương trình (3) hoặc (3’) rồi đối chiếu nghiệm với (2) hoặc (2’).
@Chú ý: Đối với phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
 g(x) 0
 f (x) g(x) 2 2
 f (x) g(x)
Bài 1: Giải các phương trình sau
a/ x 3 2 x 4 2 x 4 1
b/ x 2 4x 4 4 2 3 4 2 3
c/ 5 4x 2 4x 1 8x 2 8x 5
Bài 2: Giải các phương trình và bất phương trình sau
a/ x 2 2x 1 x 1 ; b/ x 2 9 x 2 6x 9 0
c/ x 2 4 x 2 4 0 ; d/ 4x 2 4x 1 5 x
e/ x 2 4x 5 x 2 4x 8 x 2 4x 9 3 5
f/ 9x 2 6x 2 45x 2 30x 9 9x 2 6x 8
 1 1 1
g/ 1.
 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
h/ x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
 2 2
i/ 3 65 x 43 65 x 53 652 x 2
 5 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
 9 6
a/ 12 11 và 11 10 ; b/ và 
 11 2 3 3
c/ 2 3 2 3 với 7 ; d/ 11 5 với 19 11
 13 2 3
e/ 8 15 với 65 1 ; f/ và 2
 6
Bài 2: Cho a, b, c là những số hữu tỉ khác 0 và a = b + c.
 1 1 1
Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 là một số hữu tỉ.
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Gợi ý: 2 
 a 2 b 2 c 2 a b c ab ac bc 
Bài 3: Cho a, b, c là ba số hửu tỉ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 A 
 a b 2 b c 2 c a 2 là một số hữu tỉ
Bài 4: Cho a, b, c là ba số hửu tỉ thoả mãn điều kiện : ab + bc + ca = 1.
 2 2 2
Chứng minh rằng: B a 1 b 1 c 1 là một số hữu tỉ.
Gợi ý: Thay 1 = ab + bc + ca vào các biểu thức rồi phân tích thành nhân tử.
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức:
 n a n b 2 n với 0 a n
Áp dụng: Chứng minh rằng 101 99 0,1
 1
 2 n 1 n 2 n n 1 *
Bài 6: Chứng minh rằng n với n N
 1 1 1
Áp dụng: Cho S 1 ........ .Chứng minh rằng: 18 < S < 19.
 2 3 100
 1
 n 1 n *
Bài 7: Chứng minh rằng 2 n 1 với n N
 1 1 1
Áp dụng:Chứng minh rằng 1 ....... 100.
 2 3 2500
 7 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
 CHUYÊN ĐỀ 2
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI và BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-
XKI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bất đẳng thức Cô-Si:
 a a a ..... a
 1 2 3 n n
 a , a , a ,.....a 0 a1a2a3......an
Với 1 2 3 n thì n
Dấu “ = ” xảy ra a1 a2 a3 ...... an
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
Với (a1,a2 ,a3 ,.....,an ) và (b1,b2 ,b3 ,.....,bn ) , ta có:
 2 2 2 2 2 2 2
 (a1b1 a2b2 a3b3 ...... anbn ) a1 a2 .... an b1 b2 ... bn 
 a1 a2 an
 Dấu “ = ” xảy ra ....... 
 b1 b2 bn
 1 1 1
Ví dụ: Cho x >0, y > 0 thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x y 2
 A x y .
 1 1
Gợi ý: + Vĩ x > 0, y > 0 nên ; ; x; y dều dương.
 x y
 1 1 1 1 1 1 1
 + Theo Cô-Si : xy 4
 x y 2 x y xy 4
Phương pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức, ta tìm cực trị của bình phương 
biểu thức đó ( hay dùng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki )
 5 7
Ví dụ1: Tìm GTLN của biểu thức A 3x 5 7 3x ( Điều kiện: x )
 3 3
Gợi ý: A 3x 5 7 3x 12 12 3x 5 7 3x 4
Phương pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0
 x 9
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức A ( ĐK: x 9 )
 5x
 9 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
 x a x b 
Bài 5 : Cho a, b, x là những số dương . Tìm GTNN của E 
 x
 x 2 2x 17
Bài 6: Cho x không âm. Tìm GTNN của F 
 2 x 1 
 x 6 x 34
Bài 7: Tìm GTNN của G 
 x 3
 x 3 2007
Bài 8: Cho x > 0 . Tìm GTNN của H 
 x
 12 16
Bài 9: Cho x > 0; y > 0 và x y 6 . Tìm GTNN của K 5x 3y 
 x y
 x 2 1,2xy y 2
Bài 10: Cho x > y và xy = 5. Tìm GTNN của L 
 x y
 25
Bài 11: Cho x > 1. Tìm GTLN của M 4x 
 x 1
 3 4
Bài 12: Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của N 
 1 x x
Bài 13*: Cho x, y, z 0 thoả mãn điều kiện x y z a
a/ Tìm GTLN của biểu thức A xy yz zx
b/ Tìm GTNN của biểu thức B x 2 y 2 z 2
Bài 14*: Cho x, y, z là những số dương thoả mãn điều kiện x y z 12
 x y z
Tìm GTNN của biểu thức P 
 y z x
Bài 15*: Cho x, y, z 0 thoả mãn điều kiện x y z a
 a a a 
Tìm GTNN của biểu thức Q 1 1 1 
 x y z 
Bài 16*: Cho a, b, c dương thoả mãn điều kiện a b c 1
 1 a 1 b 1 c 
Tìm GTNN của biểu thức A 
 1 a 1 b 1 c 
Bài 17*: Cho x, y thoả mãn điều kiện x y 1; x 0
Tìm GTLN của biểu thức B x 2 y 3
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ A x x 1 x 2 x 4 ; b/ B x 2008 x 2009
 11 Tài liệu ôn tập và luyện thi vào lớp 10. Giáo viên : Cao Khắc Dũng
 x 2 1,2xy y 2 x y 2 3,2xy 16
10/ +Vận dụng L x y 2 16 8
 x y x y x y
 25 25
11/ + Vận dụng M 4x 4 x 1 4 2.10 4 24
 x 1 x 1
 3 4 3x 4 1 x 
12/ + Vận dụng N 7 7 4 3
 1 x x 1 x x
13a/
 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2
 xy ; yz ; zx xy yz zx x 2 y 2 z 2
 2 2 2
 a 2
 xy yz zx x y z 2 2 xy yz zx 3A a 2 A 
 3
 2
b/ B x 2 y 2 z 2 x y z 2 xy yz zx 
 Để B nhỏ nhất thì ( xy + yz + zx ) lớn nhất theo câu a/
 2 2 2
 2 x y z 2x y 2y z 2z x
14/ Ta có P 
 y z x z x y
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương:
 x 2 x y x y x 2 x 2 yz
 z 44 4x
 y z z yz
 y 2 y z y z y 2 y 2 zx
 x 44 4y
 z x x zx
 z 2 z x z x z 2 z 2 xy
 y 44 4z
 x y y xy
Do đó: P 2 4(x y z) (x y z) 3(x y z) P 2 3.12 36
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 4
 a x x y z 2 x 2 2 yz 44 x 2 yz
15/Ta có: 1 ; 
 x x x x
 a 44 y 2 xz a 44 z 2 644 (xyz) 4
Tương tự : 1 ;1 .Q 64. Dấu = xảy ra khi 
 y y z z xyz
 a
 x y z 
 3
16/Ta có: a + b + c = 1 1 – a = b + c > 0. Tương tự : 1 – b > 0 ; 1 – c > 0.
Mặt khác : 1 a 1 1 b c 1 b 1 c 2 1 b 1 c 
 13