Tài liệu ôn tập Đại số Lớp 8

 Tài liệu ôn tập - Đại số 8
chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng 
 đẳng thức đáng nhớ.
I) Nhân đơn thức với đa thức:
1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính nhân:
 a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
 1 2 2
 c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y);
 2 5 7
 1 2 3 4
 e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x;
 2 3 4 5
 2
 g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6);
 3
 3
 i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35);
 7
Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng.
 3
 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a = .
 2
 b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1.
 c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2.
 1
 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = 
 2
Bài 3. Thực hiện phép tính sau:
 a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
 b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
 c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
 d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bài 4. Đơn giản các biểu tức:
 a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
 1 1
 c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
 2 8
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
 a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
 b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;
 a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
 b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bài tập nâng cao
Bài 7. Tính giá trị biểu thức:
 a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +.+ 80x + 15 với x = 79.
 b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 với x = 9.
 c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 với x = 31.
 d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x với x = 14.
Bài 8. Chứng minh rằng :
 a) 356 - 355 chia hết cho 34 b) 434 + 435 chia hết cho 44.
Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
 a) nếu 2a + b  13 và 5a - 4b  13 thì a - 6b 13;
 b) nếu 100a + b  7 thì a + 4b  7;
 c) nếu 3a + 4b  11 thì a + 5b  11;
II) Nhân đa thức với đa thức.
1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bài tập áp dụng:
 1 Tài liệu ôn tập - Đại số 8
 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính
 a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2.
 1
 d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - )2.
 2
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
 1
 a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + 1.
 4
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
 a) (x + y)2 + (x - y)2;
 b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
 c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;
 a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2);
 c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
 e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau:
 a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
 c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
 a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13;
 b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Với x = 101;
 c) x3 + 9x2 + 27x + 27 với x = 97;
 d) 25x2 - 30x + 9 với x = 2;
 e) 4x2 - 28x + 49 với x = 4.
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:
 a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3;
 b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) với a = -4, b = 4.
Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:
 a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
 b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
 c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
 d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
 e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bài 9. Tìm x, biết:
 a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
 c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
 d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
 e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:
 a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
 c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau:
 a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
 c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
Các bài toán nâng cao
Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
 X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bài 13. Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong:
 (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bài 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b.
Bài 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c.
Bài 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c.
Bài 17. Cho a + b + c = 0 (1)
 a2 + b2 + c2 = 2(2)
 3 Tài liệu ôn tập - Đại số 8
 c) C = 4 4...48 8...89 ; d) D = 1 1...12 2...25 .
 n n 1 n n 1
 chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử
I) Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử
 5 Tài liệu ôn tập - Đại số 8
 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
 3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
 4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
 5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 a) x2 - 9; b) 4x2 - 25;
 c) x6 - y6 d) 9x2 + 6xy + y2;
 e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy
 g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2
 1
 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + y2 
 36
 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
 n) x3 + y3 + z3 - 3xyz.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001
 c) x6 - y3; d)125x3 - 1
 e) x3 -3x2 + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
 2 2
 b) M = 2 2 2 2 2 2 2 2 
 4abcd a b c d 4 cd a b ab c d 
Bài 4 Tính nhanh:
 a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132
 c) 732 -272; d) 372 - 132
 e) 20092 - 92
Bài 5 Tìm x, biết
a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1
 3 2
e) x + 3x = -3x - 1
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
 a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
 c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bài 7 Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm
 2 2 2
 a) x - 2xy + y + a ;
 b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
 c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
 d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bài 8 Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ:
 a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
 b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
 c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
 d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: (4n + 3)2 - 25 chia hết cho 8.
III) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử.
1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân 
tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử thì xuất hiện nhân tử chung.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.
 d) x2 + 4x - y2 + 4; e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;
 f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2;
 g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay;
 3 2 2
 j) a - a x - ax + xy; k) 7a -7ax - 9a + 9x;7 l) xa - xb + 3a - 3b; Tài liệu ôn tập - Đại số 8
Bài 4. a) Số 717 + 17. 3 - 1 chia hết cho 9. Hỏi số 718 + 18.3 - 1 có chia hết cho 9 không?
 b) Biến đổi thành tích các biểu thức:
 A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + + (a + 1)2 + a + 2].
Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
 1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Với x2 + y2 = 1
 2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 với x2 + y2 = a, xy = b
 3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 với ab = a + b.
 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 với a + b + c = 2p.
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
 a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - - 22 - 2 - 1.
 b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +- 12x2 + 12x - 1 với x = 11.
Bài 7. Rút gọn:
 a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).
 2 3 4 n
 b) Mở rộng: B = 3(22 1)(22 1)(22 1)(22 1)...(22 1)
Bài 8. Chứng minh:
 1
 a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) với a + b + c = 0
 2
Bài 9. Chứng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) với a + b + c = 0.
Bài 10. Tổng các số nguyên a1, a2, a3, , an chia hết cho 3. Chứng minh rằng 
 3 3 3 3
 A = a1 + a2 + a3 + + an cũng chia hết cho 3
V) Một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Phương pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác.
 1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c.
 - Bước 1: Tìm tích ac.
 - Bước 2: Phân tích a.c ra tích của hai thứa số nguyên bằng mọi cách.
 - Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Các bài tập áp dụng dạng này:
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
 a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4;
 d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36;
 g) x2 +3x - 18; h) x2 - 5x - 24; i) 3x2 - 16x + 5;
 j) 8x2 + 30x + 7; k) 2x2 - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20.
 1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên người ta dùng phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
 a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.
 n n-1 n-2
Trong đó a là ước số của an,, với f(x) = a0x + a1x + a2x + + an-1 + an.
 b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4.
Lần lượt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. 
Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2.
Ta tách như sau:
Cách 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
 = ( x - 2)(x2 + x + 2).
Cách 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4
 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
 = (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
 = (x - 2)(x2 + x + 2).
2) Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ 
giảm bậc” của đa thức để phân tích.
 2.1) Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ngược trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta được:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 
 = y(y + 2) - 24với y = x2 + 5x + 4
 = y2 + 2y - 24
 9