Ôn tập Toán Lớp 6 - Lý thuyết và bài tập phần phân số

 A. PHÂN SỐ - PHÂN SỐ BẰNG NHAU
 I. Lúy thuyết
 1. Với a, b N, b ≠ 0 thì ta có a/b gọi là phân số. Trong đó a là tử số, b là mẫu số của phân số.
 2. Phân số Ai cập là phân số có dạng 1/n (có tử bằng 1)
 3. Mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số, VD: 8 = 8/1 = 16/2 = 
 * Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1 ta viết tử số bằng số tự nhiên đó, 
 còn mẫu số là 1. VD 9 = 9/1 . TQ A = A/1
 * Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng 1 phân số có mẫu số là số cho trước ta viết mẫu số bằng số 
 cho trước, còn tử số bằng tích của số tự nhiên với mẫu số cho trước.
 VD 4 = x/3, ta có phân số: 4.3/3 = 12/3
 TQ: A = x/B = A.B/B
 4. Phân số thập phân là phân số có mẫu là 10, 100, 1000,.
 5. Các phân số bằng nhau được coi là cùng 1 giá trị, giá trị đó là số biểu diễn bởi phân số. Tập hợp 
 các số biểu diễn bởi phân số kí hiệu là Q+ . VD : 2/3 = 4/6 = 6/9 = ..
 TQ: a/b = c/d  a.d = b.c
 * Tính chất: (1) Phản xạ: a/b = b/a
 (2) Đối xứng: Nếu a/b = c/d thì c/d = a/b
 (3) Bắc cầu: Nếu a/b = c/d và c/d = e/f thì a/b = e/f
 II . Bài tập
Bài 1: Định nghĩa hai phân số bằng nhau. Cho VD?
Bài 2: Dùng 2 trong 3 số sau 2, 3, 5 để viết thành phân số (tử số và mẫu số khác nhau)
 2 2 3 3 5 5
Hướng dẫn Có các phân số: ; ; ; ;
 3 5 5 2 2 3
Bài 3: 1/ Số nguyên a phải có điều kiện gì để ta có phân số?
 32 a
 a/ b/ 
 a 1 5a 30
 2/ Số nguyên a phải có điều kiện gì để các phân số sau là số nguyên:
 a 1 a 2
 a/ b/ 
 3 5
 3/ Tìm số nguyên x để các phân số sau là số nguyên:
 13 x 3
 a/ b/ 
 x 1 x 2
Hướng dẫn
1/ a/ a 0 b/ a 6
 a 1
2/ a/ Z khi và chỉ khi a + 1 = 3k (k Z). Vậy a = 3k – 1 (k Z)
 3
 a 2
 b/ Z khi và chỉ khi a - 2 = 5k (k Z). Vậy a = 5k +2 (k Z)
 5
 13
3/ Z khi và chỉ khi x – 1 là ước của 13.
 x 1
 Các ước của 13 là 1; -1; 13; -13
 Suy ra: 
 x - 1 -1 1 -13 13
 x 0 2 -12 14
 x 3 x 2 5 x 2 5 5
 b/ = 1 Z khi và chỉ khi x – 2 là ước của 5.
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 1 Bài 13: Tìm 1 phân số biết rằng a) 1/3 = 1/4 số đó (ĐS: 4/3)
 b) 1/4 = 1/3 số đó (ĐS: 3/4)
 Bài 14: Viết số 100 dưới dạng tổng của 1 số tự nhiên và 1 phân số bằng cách dung:
a) 6 chữ số giống nhau b) 9 chữ số khác nhau
Hướng dẫn
a) 100 = 99 + 99/99
 b) Có nhiều đáp số. Ví dụ: 100 = 91 + 5742/638 = 92 + 5104/638 = 93 + 1456/208 = 
 94 + 1578/263 = 95 + 1380/276 = 97 + 1602/534 = 98 + 1072/536 = v.v..
 Bài 15: Dùng 9 chữ số khác nhau và khác 0 để viết các phân số có giá trị lần lượt bằng 2, 3, 4, 5, 6, 
 7, 8, 9.
Hướng dẫn
 Có nhiều cách viết: 15846/7923 = 2 ; 17496/5832 = 3 ; 15768/4392 = 4
 31485/6297 = 5 ; 34182/5697 =6 ; 31689/4527 = 7 ; 47328/5916 = 8 ; 57249/8361 = 9
Bài 16: CMR các phân số sau bằng nhau:
a/ 23/99 = 2323/9999 = 232323/999999 b/ 29/43 = 2929/4343 
c/131313/151515 = 13026/15030 d/ (27425 – 27)/99900 = (27425425 - 27425)/99900000
e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = (59400 – 108)/(61600 - 112)
f) 9909/8808 = 29727/26424 = 39636/35232
Hướng dẫn
a/ * 2323/9999 = 23.101/99.101 = 23/29 * 232323/999999 = 23.10101/99.10101 = 23/99 
 d/ * (27425425 - 27425)/99900000 = (27425000 + 425 - 27000 - 425)/99900000 = 
 [(27425 - 27).1000]/99900. 1000 = (27425 – 27)/99900 
e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = [(29700 – 54).2]/[(30800 – 56).2] = (59400 – 108)/(61600 - 112)
 f/ 9909/8808 = 9909.3/8808.3 = 29727/26424 = 39636/35232
 Bài 17: Điền số thích hợp: 
 a/ 4/5 = ?/60 b/ ?/9 = 12/54 c/ 63/72 = 7/? d/ 65/? = 5/9
Bài 18: Tìm phân số bằng phân số 13/17 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 900?
Bài 19: Tìm phân số bằng phân số 188887/211109 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 108?
Bài 20: Tìm x, y biết rằng: (3 + x)/(5 + y) = 3/5 và x + y = 16
Bài 21: CMR nếu 3 phân số a/b; c/d ; e/f bằng nhau thì phân số (a.m + c.n + e.f)/(b.m + d.n + f.p)
(m, n, p là các số tự nhiên khác 0) cũng bằng các phân số đã cho.
 B. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ - RÚT GỌN PHÂN SỐ
 I. Lúy thuyết
1. Tính chất
 - Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta 
 được 1 phân số bằng phân số đã cho. TQ: a/b = a.m/b.m ( m N hoặc m Z, m ≠ 0)
 - Nếu chia cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta 
 được 1 phân số bằng phân số đã cho. TQ: a/b = a:m/b:m ( m N hoặc m Z, m ≠ 0)
 2. Rút gọn phân số 
 - Là chia tử và mẫu của chúng cho 1 số (ước chung) khác ±1 của chúng để được 1 phân số đơn giản 
 hơn và bằng phân số đã cho.
 - Một phân số không thể rút gọn được nữa gọi là phân số tối giảnTQ:a/b tối giản ƯCLN(a,b)= 1
 (a và b nguyên tố cùng nhau)
 3. Phương pháp rút gọn phân số
 3 1998.1990 3978 (1991 2).1990 3978
 1992.1991 3984 (190 2).1991 3984
c/ 
 1990.1991 3980 3978 1990.1991 2
 1
 1990.1991 3982 3984 1990.1991 2
Bài 5. Rút gọn
 310.( 5)21 115.137 210.310 210.39 511.712 511.711
a/ b/ c/ d/ 
 ( 5)20.312 115.138 29.310 512.712 9.511.711
Hướng dẫn
 310.( 5)21 5 210.310 210.39 4
a/ c/ 
 ( 5)20.312 9 29.310 3
 5
 Bài 6. Tổng của tử và mẫu của phân số bằng 4812. Sau khi rút gọn phân số đó ta được phân số . 
 7
 Hãy tìm phân số chưa rút gọn.
Hướng dẫn
Tổng số phần bằng nhau là 12
Tổng của tử và mẫu bằng 4812
Do đó: tử số bằng 4811:12.5 = 2005
Mẫu số bằng 4812:12.7 = 2807.
 2005
Vậy phân số cần tìm là 
 2807
 993
 Bài 7. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số 14 đơn vị. Sau khi rút gọn phân số đó ta được . 
 1000
 Hãy tìm phân số ban đầu.
Hướng dẫn
Hiệu số phần của mẫu và tử là 1000 – 993 = 7
Do đó tử số là (14:7).993 = 1986 
Mẫu số là (14:7).1000 = 2000
 1986
Vạy phân số ban đầu là 
 2000
 a
Bài 8: a/ Với a là số nguyên nào thì phân số là tối giản.
 74
 b
 b/ Với b là số nguyên nào thì phân số là tối giản.
 225
 3n
 c/ Chứng tỏ rằng (n N) là phân số tối giản
 3n 1
Hướng dẫn
 a a
a/ Ta có là phân số tối giản khi a là số nguyên khác 2 và 37
 74 37.2
 b b
b/ là phân số tối giản khi b là số nguyên khác 3 và 5
 225 32.52
c/ Ta có ƯCLN(3n + 1; 3n) = ƯCLN(3n + 1 – 3n; 3n) = ƯCLN(1; 3n) = 1
 3n
Vậy (n N) là phân số tối giản (vì tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau)
 3n 1
Bài 9: Rút gọn các phân số sau:
a/ 103/3090 ; 7314/18126 ; 68952/148512 ; 121.75.130.169/39.60.11.198
b/ 9/(33 – 6) ; 17.(1993 – 45)/(1993 – 45). (52 – 18) ; 7/( 102 + 6. 102 )
Bài 10: Rút gọn các phân số sau:
 5 Bài 17:Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số 6/10, 44/77, 30/55 sao cho mẫu của phân số 
 thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba?
Hướng dẫn
* Rút gọn các phân số đã cho: 6/10 = 3/5 ; 44/77 = 4/7 ; 30/55 = 6/11
Vì 3/5 ; 4/7 ; 6/11 là tối giản nên các phân số phải tìm có dạng : 3m/5m ; 4n/7n ; 6p/11p
(m, n, p N* )
Theo đề bài ta có: 5m = 4n và 7n = 6p => 4n ℅ 5 và 7n ℅ 6 và do (4,5) = 1, (7, 6) =1
Nên n ℅ 5 và n ℅ 6. Vậy n ℅ 30.
Đặt n = 30k (k N* ), ta có m = 4n/5 = 4.30k/5 = 24k ; p = 7n/6 = 7.30k/6 =35
Vậy các phân số phải tìm là: 3m/5m = 3.24k/5.24k = 72k/120k
 4n/7n = 4.30k/7.30k = 120k/210k
 6p/11p = 6.35k/11.35k = 210k/385k
 C. QUY ĐỒNG MẪU PHÂN SỐ - SO SÁNH PHÂN SỐ
I. Lúy thuyết
1. Qui đồng mẫu số các phân số.
- Là biến đổi các phân số sao cho chúng vẫn giữ nguyên giá trị nhưng có cùng chung 1 mẫu.
- Qui tắc: + Rút gọn các phân số đến tối giản + Tìm 1 bội chung của các mẫu (BCNN)
 + Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu + Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ 
tương ứng. VD quy đồng 5/8 ; 4/25 ; 7/42
2. So sánh phân số.
- Cùng mẫu số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, có tử bé hơn thì bé hơn, tử số bằng nhau thì 
bằng nhau
- Cùng tử số: Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn
- Tử số và mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa về cùng tử số hoặc mẫu số rồi so sánh.
- Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so 
sánh các mẫu với nhau. + Chọn 1 phân số làm trung gian.
- So sánh phân số với 1: * a/b 1  a > b 
 II. Bài tập
 1 1 1 1
Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau: ; ; ;
 2 3 38 12
 9 98 15
 b/ Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số sau: ; ;
 30 80 1000
Hướng dẫn
a/ 38 = 2.19; 12 = 22.3 BCNN(2, 3, 38, 12) = 22. 3. 19 = 228
 1 114 1 76 1 6 1 19
 ; ; ; 
 2 228 3 228 38 228 12 288
 9 3 98 49 15 3
b/ ; ; BCNN(10, 40, 200) = 23. 52 = 200
 30 10 80 40 1000 200
 9 3 6 98 94 245 15 30
 ; ; 
 30 10 200 80 40 200 100 200
 3 39 9 41
Bài 2: Các phân số sau có bằng nhau hay không? a/ và ; b/ và 
 5 65 27 123
 3 4 2 5
 c/ và d/ và 
 4 5 3 7
Hướng dẫn
- Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh
 7