Ôn tập Hình học Lớp 9 - Chủ đề: Góc và đường tròn

 Chủ đề TỐN HÌNH HỌC LỚP 9 : GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN 
 I. Kiến thức trọng tâm :
Vấn đề: Gĩc ở tâm- số đo độ của cung—so sánh cung.
 1. Gĩc ở tâm là gĩc cĩ đỉnh là tâm của đường trịn.
 2. Gĩc này cắt đường trịn tại A và B khi đĩ cung AB là cung bị chắn của gĩc ở tâm 
 AOB.
 3. Ta cĩ tính chất: số đo cung bị chắn bằng số đo của gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
 4. So sánh cung: cung nào lớn hơn thì cĩ số đo cũng lớn hơn và ngược lại.
 5. Cung nào cĩ gĩc ở tâm lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
Vấn đề: Gĩc nội tiếp .
6.Gĩc nội tiếp của (O) là gĩc cĩ đỉnh nằm trên đường trịn (O) và hai cạnh cắt (O) tại hai 
điểm phân biệt.
Để cĩ gĩc nội tiếp thường ta cĩ ba điểm nằm trên đương trịn.
7.Số đo gĩc nội tiếp chắn cung bằng ½ số đo gĩc ở tâm cùng chắn cung đĩ. Chú ý là cùng 
một cung.
8.Gĩc nội tiếp cĩ số đo bằng ½ số đo cung bị chắn.
9.Cùng một cung cĩ thể cĩ nhiều gĩc nội tiếp thì các gĩc này đều bằng nhau.
10.Đặc biệt gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn thì là gĩc vuơng 900.
11.Các cung bằng nhau thì gĩc nội tiếp chắn cung đĩ cũng bằng nhau và ngược lại.
12.Cung nào lớn hơn thì gĩc nội tiếp chắn cung đĩ cũng lớn hơn
Vấn đề: gĩc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung.
 1. Gĩc tạo bới một tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AX gọi là gĩc tạo bỡi tiếp 
 tuyến và dây cung.
 2. Số đo của gĩc này bằng ½ số đo gĩc ở tâm chắn cung AX.
 3. Số đo của gĩc này bằng ½ số đo cung AX.
 4. Số đo gĩc này cũng bằng số đo một gĩc nội tiếp bất kỳ chắn cung đĩ.
Vấn đề: gĩc cĩ đỉnh bên trong – bên ngồi đường trịn.
 1. Cho (O) và M trong (O) khi đĩ cĩ hai đường thẳng cùng qua M tạo thành gĩc. 
 Gĩc này là gĩc bên trong đường trịn. Hai đường thẳng này cắt đường trịn tạo 
 thành các cung.
 2. Khi đĩ số đo gĩc ở trong đường trịn bằng tổng số đo hai cung này chia hai.
 A
 B
 M
 C
 O
 D 1 1
 trịn đĩ B· AC sđB»C *B· AC B· OC
 2 2
 *B· AC B· MC 
 ( cùng chắn B»C)
 *C· AM 900
 (gntchắn 1/ 2 đ / tròn)
GĨC * B· AX B· CA 
TẠO BỠI 
 ( cùng chắn A»B )
TIA TIẾP 
 1 · 1 ·
TUYẾN B· AX sđ A»B * BAX AOB 
VÀ DÂY 2 2
 ¼
CUNG ( cùng chắn AB )
GĨC CĨ 
ĐỈNH 
NẰM 
TRONG s đ B»D s đ A»C
 B· I D 
ĐƯỜNG 2
TRỊN 
GĨC CĨ 
ĐỈNH sđ B»D sđ A»C
 B· M D 
NẰM 2
NGỒI 
ĐƯỜNG 
TRỊN 
 Tứ giác nội tiếp 
 a) Định nghĩa : 
 Tư ùgiác ABCD nội tiếp
 bốnđiểm A,B,C, D cùng nằm trên 
 một đường tròn
 b)Tính chất :
 Aµ Cµ 1800
 tứgiác ABCD nội tiếp 
 µ µ 0
 B D 180
 c) Phương pháp chứng minh:
 1. Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đĩ
 2. Chứng minh tứ giác cĩ tổng 2 gĩc đối bằng 180°
 3. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai gĩc bằng nhau. AB AD
Từ đĩ ta được, =
 AK AC
 AB.AC = AK.AD
 AB.AC = 2R.AD 
 3) Chứng minh OC  DE.
Vẽ tiếp tuyến xy tại C của (O)
Ta cĩ OC  Cx (1)
Mặt khác, AEDB nội tiếp
 A· BC D· EC
Mà A· BC A· Cx 
Nên A· Cx D· EC
Do đĩCx // DE (2)
 Từ (1) và (2) ta cĩ: OC  DE.
Bài 2 :
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm 
đường trịn ngoại tiếp tam giác AHE.
 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường trịn.
 1
 3. Chứng minh ED = BC.
 2
 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường trịn (O).
 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải: 
 1. Xét tứ giác CEHD ta cĩ:
  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng 
định lí Pitago cho tam giác OED vuơng tại E ta cĩ ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32 
 ED = 4cm
 III . Bài tậpđề nghị 
Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. 
Qua điểm M thuộc nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt 
ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
 1. Chứng minh AC + BD = CD.
 2. Chứng minh COD = 900.
 AB2
 3.Chứng minh AC. BD = .
 4
 4.Chứng minh OC // BM
 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kínhCD.
 5.Chứng minh MN  AB.
 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
 Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường trịn nội tiếp, K là tâm đường 
 trịn bàng tiếp gĩc A , O là trung điểm của IK.
 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường trịn.
 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (O).
 Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC=24cm
Bài3: Cho tam giác ABC vuơng ở A, đường cao AH. Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH. 
Gọi HD là đường kính của đường trịn (A; AH). Tiếp tuyến của đường trịn tại D cắt CA ở 
E.
 1. Chứng minh tam giác BEC cân.
 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường trịn (A; AH).
 4. Chứng minh BE = BH + DE.
 Bài 4 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường trịn ( 
 M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM 
 cắt Ax tại I; tia phân giác của gĩc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt 
 Ax tại H, cắt AM tại K.
 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 4. Theo trên COD = 900 nên OC  OD .(1)
 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cĩ: DB = DM; lại cĩ OM = OB =R => OD là 
 trung trực của BM => BM  OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuơng 
 gĩc với OD).
5. Gọi I là trung điểm của CD ta cĩ I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD 
 đường kính CD cĩ IO là bán kính.
 Theo tính chất tiếp tuyến ta cĩ AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB 
 là hình thang. Lại cĩ I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường 
 trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường trịn 
đường kính CD 
 CN AC CN CM
 Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
 BN BD BN DM
 => MN // BD mà BD  AB => MN  AB.
 6. ( HD): Ta cĩ chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy 
 ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB khơng đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất 
 khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuơng 
 gĩc với Ax và By. Khi đĩ CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.
 Bài 2: 
 A
 I
 1
 1
 B 2 C
 H
 o
 K
 1. Vì I là tâm đường trịn nội tiếp, K là tâm đường trịn bàng tiếp gĩc A nên BI và 
 BK là hai tia phân giác của hai gĩc kề bù đỉnh B 
 X
 I
 F
 M
 H E
 K
 1 2 2
 1
 A O B
Câu 1,2,3 Học sinh tự giải 
(HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình 
thang. 
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn thì AKFI phải là hình thang cân. 
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. 
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => <ABM = <MAI = 450 (t/c gĩc nội tiếp ). (7)
Tam giác ABI vuơng tại A cĩ <AIB = 450 .(8)
Từ (7) và (8) => AKFI là hình thang cân (hình thang cĩ hai gĩc 
đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường trịn.
Bài 5:
 C
 M O
 A B
 N
 A' P D B'
1. Ta cĩ OMP = 900 ( vì PM  AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một gĩc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường 
trịn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp. b/ CDE vuơng và MA.CE =DC.MB
 c/ Giả sử MBA =300 tính độ dài cung MA và diện tích MAC theo R
Bài 3:
Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Kẻ hai đườngkính AA’ và 
BB’ của đường trịn.
a. Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình chữ nhật?
b. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và AH cắt (O) tại điểm thứ hai là D.Chứng minh H 
và D đối xứng nhau qua BC
c. Chứng minh BH = CA’.
d.Cho AO = R. Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC.
Bài 4:
Cho tam giác ABC cĩ AB = AC các đường cao AG; BE; CF gặp nhau tại H.
a. Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn ngoại tiếp tứ giác 
đĩ.
b. Chứng minh: GE là tiếp tuyến của (I).
c. Chứng minh: AH.BE = AF.BC.
Bài 5:
Cho đường trịn tâm O đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B vàvẽ đường trịn tâm O’ 
đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻdây cung DE vuơng gĩc với 
AB; DC cắt đường trịn (O’) tại I.
a. Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao?
b. Chứng minh rằng 3 điểm I, B, E thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đường trịn (O’).