Ôn tập Đại số 9 - Chương III, IV

 CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 9 
Giải bài toán bằng cách lập phương trình: 
I. Mục tiêu cần đạt: HS biết giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. 
II. Nội dung: 
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ pt: Xem SGK trang 26. 
2. Hướng dẫn giải bài tập SGK : 
Bài 28/22: 
 x y 1006
Gọi số lớn là x, số nhỏ là y (ĐK: x, y N; x > y > 124). Ta có hệ PT 
 x 2y 124
Giải hệ pt ta được: x = 712 ; y = 294 (tmđk). 
Vậy 2 số cần tìm là 712 và 294 
BT 29/22: Tổng số quả quýt và quả cam là 17 quả. Tổng số miếng quýt và cam là 100 miếng. 
 x y 17
Gọi x là số quả quýt, y là số quả cam (ĐK: x, y N; 0 < x, y < 17). Ta có hệ pt: 
 3x 10y 100
Giải hệ pt ta được: x = 10 ; y = 7 (tmđk). 
Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam. 
 BT 30/22: (Thời gian đi từ A đến B bằng hiệu của thời điểm đến B với thời điểm xuất phát. 
 Các đại lượng của chuyển động liên quan với nhau bỡi công thức: s = vt). 
Cách 1: 
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB, y(giờ) là thời điểm xuất phát của ô tô tại A (ĐK: x > 0 < y < 12) 
Thời gian ô tô đi từ A đến B theo dự định là: 12 – y (giờ) 
 x
Thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 35km/h là: (giờ) 
 35
 x
Thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h là: (giờ) 
 50
 x
 12 y 2
 35 x 35y 490
Theo đề bài ta có hệ phương trình: 
 x x 50y 550
 12 y 1 
 50
Giải hệ pt ta được: x = 350; y = 4 (thỏa mãn ĐK) 
Vậy quãng đường AB dài 350km, thời điểm ô tô xuất phát từ A là 4 giờ sáng. 
Cách 2: 
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB, y(giờ) là thời điểm xuất phát của ô tô tại A (ĐK: x > 0 < y < 12) 
Thời gian ô tô đi từ A đến B theo dự định là: 12 – y (giờ) 
Thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 35km/h là: 12 – y + 2 = 14 – y (giờ) 
Thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h là: 12 – y – 1 = 11 – y (giờ) 
Theo đề bài ta có hệ pt: 
 x 3514–y x 3514–y x 35 14 – y x 350
 (thỏa mãn đk) 
 x 50 11 y 35 14 – y 50 11 y 15y 60 y4 
Vậy độ dài quãng đường AB là 350km; thời điểm xuất phát của ô tô tại A là 4 giờ sáng. 
BT31/23: 
Gọi x, y (cm) lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông cần tìm. (ĐK: x, y > 0) 
Độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông sau khi tăng lên 3cm lần lượt là (x+3) và (y+3) (cm) 
Độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông sau khi giảm là: (x – 2) và (y – 4) (cm) 
 1 
 Vậy vườn nhà lan trồng được 750 cây rau cải bắp. 
BT 36/24: 
Gọi x; y lần lượt là số lần bắn đạt 8 điểm và 6 điểm (ĐK: x; y N*) 
 x y 100 (25 42 15) x y 18
Ta có hệ pt: 
 10.25 9.42 8x 7.15 6y :100 8,69 4x 3y 68
Giải hệ pt ta được x = 14; y = 4 (thỏa mãn ĐK) 
Vậy có 14 laanff bắn đạt điểm 8 và 4 lần ắn đạt điểm 6. 
BT 37/24: 
Gọi x, y(cm/s) lần lượt là vận tốc của hai vật.(x > y > 0). 
Quãng đường hai vật chuyển động được trong 20s lần lượt là: 20x cm và 20y cm. 
Quãng đường hai vật chuyển động được trong 4s lần lượt là: 4x cm và 4y cm. 
 20x 20 y 20 x y 1 x 3
Theo đề bài ta có hệ pt: (Thỏa mãn điều kiện) 
 4x 4 y 20 x y 5 y 2
Vậy vận tốc của mỗi vật lần lượt là 3cm/s và 2cm/s. 
BT 39/25: 
Goi x; y (triệu đồng) lần lượt là số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất và thứ hai (không kể thuế). 
(ĐK: 0 < x; y < 2,17) 
Tiền thuế VAT với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất là: 0,1x (triệu đồng) 
Tiền thuế VAT với mức 8% đối với loại hàng thứ hai là: 0,08y (triệu đồng) 
Tiền thuế VAT với mức 9% đối với loại hàng thứ nhất là: 0,09x (triệu đồng) 
Tiền thuế VAT với mức 9% đối với loại hàng thứ hai là: 0,09y (triệu đồng) 
 x y 0,1x 0,08y 2,17 1,1x 1,08y 2,17
Theo đề bài ta có hệ pt: 
 x y 0,09x 0,09y 2,18 1,09x 1,09y 2,18
Giải hệ pt ta được x = 0,5; y = 1,5 (thỏa mãn ĐK) 
Vậy số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất là 0,5 triệu đồng và loại hang thứ hai là 1,5 triệu đồng 
3. Hướng dẫn tự học: 
- Đọc các ví dụ 1,2 ở bài 5; ví dụ 3 ở bài 6; làm bài tập ?6, ?7 trang 23 SGK 
- Giải bài tập 35,38 trang 24 SGK. 
 3 
BT 19/75 SKG: 
 S 
 M 
 A 
 B 
 N 
 H 
Ta có: AMB = ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
 BM  SA; AN SB. 
Vậy BM và AN là hai đường cao của ∆SAB H là trực tâm. 
 SH thuộc đường cao thứ ba SH AB 
BT 20/76 SKG: 
 A 
 O O’ 
 C D 
 B 
Nối BA, BC, BD, ta có: 
ABC = ABD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
=> ABC + ABD = CBD = 1800 C, B, D thẳng hàng. 
BT21/76 SKG: 
 M 
 A 
 m n N 
 O O
 ’ 
 B 
Ta có: (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau AmB = AnB 
Ta lại có: M = 1 sđ AmB ; N = sđ AnB 
 2
 M = N => MBN cân tại B. 
BT 22/76 SKG: 
AMB = 90o (gnt chắn nửa đường tròn). 
 AM là đường cao của tam giác vuông ABC. 
 MA2 = MB.MC (hệ thức lượng trong tam giác vuông). 
c) Hướng dẫn tự học: Giải bài tập 17/75; 22,23,2,25,26/76 SGK. 
2) Góc tạo bỡi tia tiếp tuyến và dây cung: 
a) Khái niệm: Góc tạo bỡi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến 
và cạnh kia chứa dây cung. 
 5 
 Bài tập 31/79 SKG: 
 Tính ABĈ và BAĈ : 
 C
 A Ta có: ABĈ + CBÔ = ̂ = 900 
 0
 B Mà: BC = BO = OC = R (gt) => ∆OBC đều => CBÔ = 60 
 Nên: ABĈ = 900 – 600 = 300 
 Lại có: AB = AC (tính chất tiếp tuyến) => ∆ABC cân tại A 
 O => ABĈ = ACB̂ = 300 
 Suy ra: BAĈ = 1800 – 600 = 1200 
 Bài tập 33/79 SKG: 
 Chứng minh AB.AM = AC.AN 
 B Trong đường tròn (O) có: 푡 ̂ = ̂ (cùng chán cung AB) 
 t Lại có: At//MN (gt) => 푡 ̂ = ̂ (so le trong) 
 ̂ ̂
 M Suy ra: = 
 Hai tam giác ABC và ANM có ̂ = ̂ (cmt) 
 O ̂ = ̂ (góc chung) 
 A Do đó: ∆ABC ∆ANM (g.g) 
 N AB AC
 C Suy ra: => AB.AM = AC.AN 
 AN AM
Bài tập 34/79 SKG: 
 A
 B Chứng minh MT2 = MA.MB: 
 M
 Hai tam giác MAT và MTB có: ̂ chung 
 ̂ = ̂ (cùng chắn cung AT) 
 Do đó: ∆ MAT ∆ MTB (g.g) 
 O
 MA MT 2
 T Suy ra: => MT = MA.MB 
 MT MB
2) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn: 
* Định lý: 
 Số đo của góc có đỉnh có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Số 
đo của góc có đỉnh có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 
 F - Góc BEA là góc có đỉnh có đỉnh ở bên trong đường tròn. 
 A 1
 ̂ = (sđ AB + sđ CD ) 
 B 2
 E - Góc DFC là góc có đỉnh có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. 
 D O 
 퐹 ̂ = (sđ CD – sđ AB ) 
 C
* Một số trường họp khác của góc có đỉnh có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. 
 7 
 Bài tập 39/82 SGK: 
 C Chứng minh ES = SM: 
 Trong đường tròn (O) có: AB  CD (gt) 
 => sđ AC = sđ CB = 900 => sđ AC + sđ BM = sđ CB + sđ BM 
 O S B 1
 A à: 푆 ̂ = (sđ AC + sđ BM) (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 
 E 2
 M ̂ = sđ CM = (sđ CB + sđ BM) (góc tạo bỡi tia tt và dây cung) 
 D
 Suy ra: 푆 ̂ = ̂ => ∆EMS cân tại E => ES = EM 
Bài tập 40/82 SGK: 
 S Chứng minh SA = SD: 
 Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O), ta có: 
 B
 E CE = EB (AE là phân giác của ̂) 
 D Trong đường tròn (O) có: 
 O ̂ = (sđ CE + sđ BA) (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 
 A
 C 푆 ̂ = sđ EA= (sđ EB + sđ BA) (góc tạo bỡi tia tt và dây cung) 
 Suy ra: ̂ = 푆 ̂ hay 푆̂ = 푆 ̂ => ∆SAD cân tại S => SA = SD. 
* Hướng dẫn tự học: 
- Giải BT ?1/81; BT ?2?82; BT41,42,43/83 SGK. 
- Đọc tham khảo bài “cung chứa góc”. 
3) Tứ giác nội tiếp: 
Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. 
Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800. 
Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác nội tiếp được đường tròn khi: 
- Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800. 
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó. 
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tứ giác. 
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. 
* Minh họa các tứ giác nội tiếp được đường tròn: 
 H
 M
 B E
 K
 A
 123°
 G
 57° I
 D C F N
Bài tập 53/89 SGK: 
 Trường hợp 
 1 2 3 5 6 
 Góc 
 Â 800 750 600 m0 1060 950 
 ̂ 700 1050 n0 400 650 820 
 ̂ 1000 1050 1200 1800 - m0 740 850 
 ̂ 1100 750 1800 - n0 1400 1150 980 
 9 
 - Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa 
giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. 
 Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường 
tròn nội tiếp. 
VD: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp ngũ giác đều ACDE, lục giác đều ABCDEF. 
 A
 C
 B
 B E
 O D
 A O
 C D E
 F 
Bài tập 61/91 SGK: 
 A E B 
 r c) Vẽ OE vuông góc với AB tại E ta có r = OE = EB 
 2cm M ∆OEB có OE2 + EB2 = OB2 
 O
 Suy ra: r = 2 (cm) 
 D C 
Bài tập 62/91 SGK: 
 a) Vẽ BC = 3cm, đường trung trực của BC cắt (B; 3cm) tại A 
 ∆ABC là hình cần vẽ 
 I b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là giao điểm của các 
 đường trung trực của ∆ABC. 
 Gọi h là độ dài đường cao cũng là đường trung tuyến, đường trung 
 A
 2 2 3 3
 trực của ∆ABC ta có: R = h =  3 (cm) 
 R 3 32
 r
 O c) Bán kính r của đường tròn nội tiếp ∆ABC là giao điểm của các 
 đường phân giác của ∆ABC, ta có: 
 B C
 2
 J K a 9 3 3
 r2 = R2 – = 3 – = => r = (cm) 
 2 4 4 2
 d) Các cạnh của ∆ỊJK song song với các cạnh của ∆ABC và tiếp 
 xúc với đường tròn (O) 
Bài tập 63/92 SGK: 
 Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) là: a = R 3 
 A1 222
 C1 C2 a R 3R
 R2 a 2 3R 2 a R 3 
 B1 B2 
 2 2 4
 R
 C3 Độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R) là: b = R 2 
 O b2 R 2 R 2 2R 2 b R 2 
 A2 A3
 B4 B3 Độ dài cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) là: c = R 
 C4
 C5 (hai bán kính của đường tròn hợp với 1 cạnh của lục giác đều thành 
 một tam giác đều) 
Bài tập 64/92 SGK: 
 11