Lý thuyết ôn tập môn Toán 12

 Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12 
 GIẢI TÍCH 12 
I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : 
 / / / 1 n / n 1
 C 0 x 1 x x nx 
 2 x
 2) Các quy tắc tính đạo hàm : 
 / / / / / / / / / /
 u v u v u v u v u.v u v uv u u / v uv/
 v v 2
 / / / / / / / /
k.u k.u , k R 1 v / k v / u.v.w u vw uv w uvw 
 k. 
 v v 2 v v 2
 / / / / / /
 1 1 ax b ad bc u u / y x y u .u x 
 , 
 x x 2 cx d cx d 2 k k (Đạo hàm của hàm số hợp 
 ) 
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: 
 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u u x ) 
 / /
 x .x 1 u .u 1.u / 
 /
 / u
 u 
 2 u
 sin x / cosx sinu / u / .cosu 
 cosx / sin x cosu / u / .sinu 
 1 /
 tan x / 1 tan 2 x / u / 2
 2 tan u u 1 tan u 
 cos x cos2 u
 1 /
 cot x / 1 cot2 x / u / 2
 2 cotu u . 1 cot u 
 sin x sin 2 u
 / /
 eexx euu u/ . e 
 / /
 a x a x .lna a u a u .u / .lna 
 /
 / 1 / u
 ln x lnu 
 x u
 /
 / 1 / u
 loga x log u 
 x.lna a u.lna
4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : y ax3 ax2 cx d a 0 
 - TXĐ : D R 
 / /
 - Tính đạo hàm y ; giải phương trình y 0 tìm x y 
 - Tính giới hạn :nếu a 0 lim y ; lim y ; nếu a 0 lim y ; lim y , 
 x x x x 
 - Lập bảng biến thiên ( xét dấu ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu 
của hàm số. Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12 
 Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: y ax4 bx2 c 
 Nếu a 0 Nếu a 0 
Nếu phương trình cĩ 3 y 
nghiệm phân biệt x1;; x 2 x 3 . 
+ Hàm số cĩ ba cực trị 
 O 
 x1 x3 
 x 
Nếu phương trình cĩ 
1 
 nghiệm x 0 
+ Hàm số cĩ khơng cĩ cực x 
trị 
 ax b
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức : y , a 0,ad bc 0 
 cx d
 d  / d
 - TXĐ : D R \  y 0;x , nếu ad bc 0 
 c  c
 ad bc
 - Tính đạo hàm y / 
 cx d 2
 d
 y / 0;x , nếu ad bc 0 
 c
 a a a
 - Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim y ; lim y y là tiệm cận ngang 
 x c x c c
 Nếu thì lim y và lim y 
 d d 
 x x d
 c c
 x là tiệm cận đứng 
 / d c
 Nếu y 0;x thì và lim y lim y 
 c d d 
 x x 
 c c
 - Lập bảng biến thiên : 
 x d
 Nếu 
 c
 + + a 0 
 a
 / y c /
 y y 0
 Hàm số luơn đồng biến trên từng khoảng Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12 
 5) Các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số : 
a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước g x,m 0 1 
 Cách giải : 
 + Đưa phương trình 1 về dạng : f x Am B , trong đĩ y f x là đồ thị C đã vẽ và y Am B 
 d 
 là đường thẳng song song hoặc trùng với trụcOx . 
 + Số nghiệm của phương trình 1 là số hồnh độ giao điểm của đồ thị và 
 + Dựa vào đồ thị biện luận (cĩ 5 trường hợp ), thường dựa vào yCĐ và yCT của hàm số để biện luận 
 . 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M x0 ; y0 C 
 Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M x0 ; y0 C cĩ 
 dạng : 
 / /
 y f x0 x x 0 y 0 2 . Thế x0 ; y0 ; f x0 đã cho hoặc vừa tìm vào 2 ta được tiếp tuyến cần 
 tìm. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k cho trước: 
 Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số cĩ dạng : y k x x00 y 
 3 
 /
 Gọi M x00; y là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k nên f x0 k , giải phương trình 
 tìm được x0 y0 f x0 .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) 
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số biết tiếp tuyến song song hoặc 
vuơng gĩc với 
 một đường thẳng cho trước. 
 Cách giải : Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng : 4 
 Gọi là tọa độ tiếp điểm . 
 /
 + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng d : y ax b thì f x0 a , giải pt tìm được . 
 Kết luận phương trình tiếp tuyến . 
 1
 + Nếu tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng thì f / x .a 1 f / x . 
 0 0 a
 Giải phương trình này tìm được . Kết luận phương trình tiếp tuyến . 
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn a;b : 
 Cách giải : 
 / /
 + Tính f x , giải phương trình f x0 0 tìm nghiệm x0 a;b; Tính các giá trị : f a ; f x0 ; f b 
 + Kết luận : (f x ) max f a ; f x ; f b ; M inf x Min f a ; f x0 ; f b  
 max 0  ab; 
 ab; 
f) Tìm tham số để hàm số cĩ cực trị (cực đại, cực tiểu ): 
 Cách giải : + Tính đạo hàm y / , tính hoặc / của y / . 
 + Để hàm số cĩ cực đại , cực tiểu thì phương trình y / 0 cĩ hai nghiệm phân biệt 
 a 0
 0 m 
g) Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại x x0 : Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12 
 4. Với số a dương khác 1, số dương b và số 5. Với ab, là số dương khác 1 và c là số 
 nguyên dương n , ta cĩ: dương, 
 1 1 log c
 n a logb .log c log c
 logaa log b ; logaabb log ; ta cĩ: logb c hay a b a 
 b n loga b
 1 logba .log 1
 loga b ; ab 
 logb a
 3. Gỉai phương trình mũ và lơgarit : 
 Dạng cơ bản: 
 f (x) g(x) f (x)
 1. a = a f(x) = g(x) ; 2. a = b ( với b > 0 ) f(x) = log a b 
 f (x) 0 loga f (x) b b
 3. log f(x) = log g(x) 4. f(x) = a ; 
 f (x) g(x) 0 a 1
 Đặt ẩn phụ : 
 2f (x) f (x) f (x) b f (x) b f (x) f (x)
 1. a +. a +  = 0 ; Đặt : t = a , t > 0; 2. a +. a +  = 0 ; Đặt : t = a , t > 0 
 Lơgarit hoá hai vế : 
4. Giải bất phương trình mũ và lơgarit 
 f (x) g(x) f(x) g(x) khia 1
 1. a > a ; 
 f(x) g(x) khi0 a 1
 f (x)
 2. a > b Nếu b > 0 f(x) > log b nếu a > 1; f(x) < log b nếu 0 < a < 1 
 4. log f(x) > log g(x) (*) Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 1, (*) f(x) > g(x) ; 0<a<1, 
(*) f(x) < g(x) 
 5. log f(x) > b . Nếu a > 1 : bpt là f(x) > ab . Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < 
 5. Đồ thị hàm số mũ- lơgarit 
 Đồ thị hàm số mũ Đồ thị hàm số lơgarit 
 0< a <1 0< a <1 
 a >1 a >1 
 y y y y 
 1 1 
 1 
 x x x 1 x 
 O O OO OO 
III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 
1. Nguyên hàm 
 Cơng thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số cơng thức mở rộng 
 1. ; cos ax b 
 0dx C 13. sin ax b dx C 
 2. dx 1 dx x C a
 sin ax b
 1 
 x 1 14 cos ax b dx C 
 3. x dx C 1 ; 4. dx ln x C a
 1 x
 tan ax b
 5. sinxdx cos x C ; 6. cosxdx sin x C ; 1 
 15. 2 dx C; 
 cos ax b a
 1 1
 7. dx tan x C ; 8. dx cot x C . 
 2 2 1 cot ax b 
 cos x sin x 16. dx C. 
 sin2 ax b a