Giáo án Toán Lớp 12 - Chương IV: Số phức

 CHƯƠNG IV
 Số phức
 Vấn đề cần nắm: I. Số phức
 0. Số i
 Việc xây dựng tập hợp số phức được đặt ra từ vấn đề mở rộng tập hợp số thực sao 
 I. Khái niệm số phức
 II. Các phép toán với cho mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, ta bổ sung 
 số phức vào tập số thực ¡ một số mới, kí hiệu là i và coi nó là một nghiệm của phương 
 III. Tìm số phức có trình x2 1 0 , như vậy i2 1.
 mô-đun min, max
 IV. Biểu diễn hình học 1. Định nghĩa
 số phức, quỹ tích 
 Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó a,b ,i2 1 được gọi là một số phức.
 phức ¡
 Đối với số phức z a bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là £ . 
 2. Số phức bằng nhau
 Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
 a bi c di a c và b d .
 Nhận xét: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K.
 Chú ý 1. Từ sự bằng nhau của số phức, ta suy ra mỗi số phức hoàn toàn được xác định 
 bởi một cặp số thực. Đây là cơ sở cho phần 3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số thực a được coi là 
 2. Mỗi số thực a được đồng nhất với số phức a 0i , nên mỗi số thực cũng là 
một số phức có phần ảo 
 một số phức. Do đó, tập số thực ¡ là tập con của tập số phức £ .
bằng 0 tức a a 0i .
 3. Số phức 0 bi được gọi là số thuần ảo và được viết đơn giản là bi.
 4. Số i được gọi là đơn vị ảo.
 3. Biểu diễn hình học của số phức
 Điểm M a;b trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu 
 diễn số phức z a bi (hình 4.1). 
 Từ định nghĩa ta có thể suy ra:
 Các điểm biểu diễn số thực đều có tung độ bằng 0, do đó đều nằm trên trục Ox.
 Các điểm biểu diễn số thuần ảo đều có hoành độ bằng 0, do đó nằm trên trục Oy.
 4. Mô đun số phức
 Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M a;b trên mặt phẳng tọa độ 
 (hình 4.1). Khi đó
  
 Độ dài của vectơ OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là z .
    
 Vậy z OM hay a bi OM . Dễ thấy z OM a2 b2 3. Phương trình bậc hai với hệ số thực
 Các căn bậc hai của số thực a 0 là i a .
 Xét phương trình bậc hai ax2 bx c 0 với a,b,c ¡ ,a 0 .
 Xét biệt số b2 4ac , ta có:
 0 0 0
Phương trình có một Phương trình có hai 1. Nếu xét trên tập số thực thì phương trình vô nghiệm.
 b nghiệm thực phân biệt 
nghiệm thực x 2. Nếu xét trên tập hợp số phức, phương trình có hai 
 2a được xác định bởi công nghiệm phức được xác định bởi công thức
 thức
 b i 
 b x 
 x 1,2 2a
 1,2 2a
 Nhận xét: Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm 
 (không nhất thiết phải phân biệt).
 Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n n 1 
 n n 1
 a0 x a1x ... an 1x an 0 ,
 Trong đó a0 ;a1;...;an £ ,a0 0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất 
 thiết phân biệt). Chú ý Ví dụ 2: Cho số phức z 2 i . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Trong bài toán ở ví dụ 2, rất A. Số phức z có phần thực là 2 ; phần ảo là i 
nhiều độc giả sẽ chọn A, B. Số phức z có phần thực là 2 ; phần ảo là .
tuy nhiên đây là sai lầm 
thường gặp. Phần ảo của số C. Số phức z có phần thực là 2 ; phần ảo là .
phức z a bi; a;b 
 ¡ D. Số phức z có phần thực là 2 ; phần ảo là i .
là b (không phải bi).
 Đáp án B.
 Lời giải
 Từ định nghĩa số phức ta có số phức z có phần thực 2 và phần ảo là .
 Ví dụ 3: Tìm các số thực x; y thỏa mãn
 2x y 2y x i x 2y 3 y 2x 1 i 
 A. x; y 0;1 B. x; y 1;0 
 C. x; y 1;2 D. x; y 1;2 
 Đáp án A.
 Lời giải
 Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có
 2x y x 2y 3 x 3y 3 x 0
 .
 2y x y 2x 1 3x y 1 y 1
 Ví dụ 4: Cho số phức z 2 i 3 . Giá trị của z là
 A. z 7 B. z 7 C. z 13 D. z 13 
 Đáp án A.
 Lời giải
 2
 Từ lý thuyết ta có z 2 2 3 7 .
 Ví dụ 5: Tìm z biết z 1 i 2 . 
 A. z 3 B. z 1 i 2 C. z 3 D. 1 2 2i 
 Đáp án B.
 Lời giải
 Ta có z 1 i 2 .
 z
 Ví dụ 6: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z 3i 5 và là số thuần ảo?
 z 4
 A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2 Ví dụ 8: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là 
 nghiệm? 
 A. z2 2z 3 0 B. z2 2z 3 0 
 C. z2 2z 3 0 D. z2 2z 3 0 
 Đáp án C.
 Lời giải
 z1 z2 1 2i 1 2i 2
 z1 1 2i 
 STUDY TIP Ta có 
 z 1 2i z .z 1 2i 1 2i 1 2i2 3
 Trong bài toán này, ta 2 1 2 
 hoàn toàn có thể áp dụng 2
 định lý Viet. Vậy hai số phức z1, z2 là nghiệm của phương trình z 2z 3 0 .
 2
 Ví dụ 9: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z z 1 0 . Giá trị của 
 1 1
 bằng: 
 z1 z2
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 
 Đáp án C.
 Lời giải
 1 3 1 3
 Phương trình z2 z 1 0 có hai nghiệm z i, z i .
 1 2 2 2 2 2
 1 1
 Có z1 z2 1. Vậy 2 .
 z1 z2
 Ví dụ 10: Cho P z là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn 
 P z0 0 thì:
 1 1 
 A. P z0 0 B. P 0 C. P 0 D. P z0 0 
 z0 z0 
 Đáp án D.
 Lời giải
 Giả sử P z có dạng
 STUDY TIP 2 n
 P z a0 a1z a2 z ... an z a0 ;a1;a2 ;...;an ¡ ;an 0 
Từ bài toán ta có ghi nhớ. 
 2 n
Cho P z là một đa thức P z0 0 a0 a1z0 a2 z0 ... an z0 0 
với hệ số thực thỏa mãn 2 2
 a0 a1z0 a2 z0 ... an z0 0 
P z0 0 thì suy ra 
 2 n
 a a z a z ... a z 0 P z0 0 .
P z0 0 . 0 1 0 2 0 n 0 Ví dụ 14: Tính giá trị của I 1 i 2018 . 
 A. I 22018 B. I 22018 i C. I 21009 D. I 21009 i 
Đáp án D.
 Lời giải
 1009
Ta thấy 1 i 2 2i 1 i 2018 1 i 2 21009.i1009 
Ta thấy 1009 chia 4 dư 1 nên suy ra i1009 i 1 i 2018 21009 i . Câu 10: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 2 i z 2i là 
đường thẳng: 
 A. 4x 2y 1 0 B. 4x 6y 1 0 C. 4x 2y 1 0 D. 4x 2y 1 0 
Câu 11: Cho các số phức z thỏa mãn z i z 1 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn 
các số phức w 2 i z 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết 
phương trình đường thẳng đó.
A. x 7y 9 0 B. x 7y 9 0 C. x 7y 9 0 D. x 7y 9 0 
Câu 12: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. 
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực 4 và phần ảo là 3.B. Phần thực 3 và phần ảo 4i .
C. Phần thực 3 và phần ảo là 4.D. Phần thực 4 và phần ảo 3i .
Câu 13: Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa 
 z i z 1 là?
A. x y 0 B. x y 0 C. 2x y 1 0 D. x 2y 0 
Câu 14: Cho số phức z 5 4i . Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:
 A. 5;4 B. Đáp số khácC. 5;4 D. 5; 4 
Câu 15: Trên mphẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 
điều kiện zi 2 i 2 là:
 A. x 2 2 y 1 2 4 B. x 2 2 y 1 2 4 
 C. x 1 2 y 2 2 4 D. x 1 2 y 2 2 4 
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z 2i 4 . Điểm nào sau 
đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?
 A. Điểm M B. Điểm NC. Điểm PD. Điểm Q
Câu 17: Cho hai số phức z1 1 i, z2 3 2i . Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm 
M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1, z2 , gọi G là trọng tâm của tam giác 
OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
 4 1 1
 A. 5 i B. 4 i C. i D. 2 i 
 3 3 2
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 2 . Chọn phát biểu đúng:
 A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
 B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
 C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2.
 D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 4. Câu 30. Cho hai số phức z1 1 i, z2 3 2i . Tìm môđun của số phức z1 z2 .
 A. 5 B. 5 C. 13 D. 2 
Câu 31. Cho số phức z1 1 i, z2 3 2i . Tìm số phức z thỏa mãn z.z1 z2 0 .
 1 5 1 5 1 5 1 5
 A. z i B. z i C. z i D. z i 
 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 32. Cho số phức z 3 2i . Tìm số phức w 2i 3 i z 2iz 1?
 A. w 12 17i B. w 12 17i C. w 12 17i D. w 12 17i 
Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của z lần lượt là: 
 A. 10 và 4 B. 5 và 4C. 4 và 3D. 5 và 3
Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 2iz 5 3i . Môđun của z là:
 A. z 3 B. z 5 C. z 5 D. z 3 
Câu 35. Cho hai số phức z1 2 i, z2 3 4i . Môđun của số phức z1 z2 là:
 A. 24 B. 26 C. 10 D. 34 
Câu 36. Số phức liên hợp của số phức z a bi là số phức:
 A. z a bi B. z b ai C. z a bi D. z a bi 
Câu 37. Cho hai số phức z1 1 3i ; z2 2 i . Tìm số phức w 2z1 3z2 .
 A. w 4 9i B. w 3 2i C. w 3 2i D. w 4 9i 
Câu 38. Cho số phức z a bi thỏa mãn 2z z 3 i . Giá trị của biểu thức 
3a b là:A. 6 B. 3C. 4 D. 5
 2
Câu 39. Cho hai số phức z1 1 i; z2 2 3i . Tìm số phức w z1 .z2 
 A. w 6 4i B. w 6 4i C. w 6 4i D. w 6 4i 
Câu 40. Cho z1, z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1. 
Khẳng định nào dưới đây là sai?
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 A. z1 z2 z3 z1 z2 z3 B. z1 z2 z3 z1 z2 z3 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 C. z1 z2 z3 z1 z2 z3 D. z1 z2 z3 z1 z2 z3 
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z iz 2 5i . Số phức z cần tìm là:
 A. z 3 4i B. z 3 4i C. z 4 3i D. z 4 3i 
 1 3 2
Câu 42. Cho số phức z i . Khi đó số phức z bằng:
 2 2 
 1 3 1 3
 A. i B. i C. 1 3i D. 3 i 
 2 2 2 2