Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Ngô Gia Tự (Có đáp án)

 SỞ GD-ĐT PHÚ YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ NĂM HỌC 2018 - 2019
 Môn thi: TOÁN
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (4 điểm) Cho parabol (P) : y ax2 bx 1.
 3 11 
 a) Tìma, b để parabol có đỉnh S ; . 
 2 2 
 b) Vớia, b vừa tìm được ở câu a), hãy tìm các giá trị của k để đường thẳng 
 : y x(k 6) 1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt M ; N sao cho trung điểm của 
 đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : 4x 2y 3 0.
Câu 2. (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình:
 a) 4x2 12x x 1 27(x 1) .
 x3 y xy2 x2 xy y 1
 b) 
 4 2 2
 x 2x y y xy 1.
Câu 3. (4 điểm) 
 a) Giải phương trình: sin2 3x cos 2x sin2 x 0.
 b) Chứng minh phương trình 8x3 6x 1 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy 
 tìm ba nghiệm đó.
Câu 4. (6 điểm)   
 a) Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N, P thỏa mãn BM k BC , 
  2   4  
 CN CA, AP AB . Tìm k để AM vuông góc với PN.
 3 15
 b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E là các điểm lần lượt thuộc cạnh BC, AC sao cho 
 2 1
 BD BC, AE AC. Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho ba điểm B, K, E thẳng 
 3 4
 AD
 hàng. Tìm tỉ số . 
 AK
Câu 5. (2 điểm) Cho x, y, z 0 và x y z 3. Chứng minh rằng:
 x y z 3
 .
 x2 x 1 yz y2 y 1 zx z2 z 1 xy 4
 ---------Hết---------
 Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. sin x 0 k 
 x . 0.5
 cos 2x 1 2
 b) Đặt f x 8x3 6x 1, hàm số xác định và liên tục trên ¡ . 0,5
 1 
 Ta có f 1 3, f 1, f 0 1, f 1 1 
 2 
 1 1 0,5
 f 1 . f 0, f . f 0 0, f 0 . f 1 0
 2 2 
 f x 0 có ba nghiệm thực phân biệt thuộc 1; 1 .
 Đặt x cost, t 0; thay vào pt ta được:
 2 0,5
 2 4cos3 t 3cost 1 cos3t cos t k , k ¢ .
 3 9 3
 5 7 
 Kết hợp với t 0; ta được t ; ;  . 
 9 9 9
  0,5
 5 7 
 Phương trình đã cho có ba nghiệm: x cos , x cos , x cos .
 9 9 9
4 6.00
 a) Ta có A
   
 BM k BC
 P
     N
 AM AB k(AC AB)
    
 AM (1 k)AB k AC . 1.0
    4  1  B C
 PN AN AP AB AC. M
 15 3
   
 AM vuông góc với PN AM.PN 0
   4  1  1.0
 (1 k)AB k AC AB AC 0
 15 3 
   
 4(1 k) 2 k 2 1 k 4k 
 AB AC AB AC 0
 15 3 3 15 
 1.0
 4(1 k) k 1 k 4k 0 1
 cos60 0 k .
 15 3 3 15 3
  1   3  1  
 b) Ta có AE AC BE BA BC. 
 4 4 4 1.0
       2x  
 Giả sử AK xAD BK (1 x)BA xBD (1 x)BA BC. 
 3 1.0