Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Phan Chu Trinh (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 12
 NĂM HỌC 2017_2018 
 MÔN TOÁN 
 Thời gian làm bài:180 phút
Sở Giáo dục & Đào tạo Phú yên
Trường THPT Phan Chu Trinh
 ----------------- -----------------
 -------------------------- 
 BÀI 1:(4 điểm) 
 a) CMR: cosx+cotx+2x > , x .
 b) CMR với mọi tam giác nhọn ABC ta có : cosA+cosB+cosC+cotA+cotB+cotC > . 
 BÀI 2:(4 điểm) Cho parabol y=x2 (P). A,B,C là ba điểm phân biệt thuộc (P).Các tiếp tuyến của (P) 
 tại A,B,C đôi một cắt nhau tại M,N,P. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác MNP thuộc đường 
 thẳng cố định khi A,B,C thay đổi.
 BÀI 3:(6 điểm)
 a) Giải hệ phương trình: 
 b) CMR: P =  . 
 BÀI 4:(3 điểm) 
 Cho a,b,c là các số thực thỏa 
 Chứng minh rằng: .
 BÀI 5:(3 điểm)
 Cho điểm M thuộc cung nhỏ của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
 Chứng minh rằng MA(MA+MC)=MB(MB+MD).
 --------HẾT-------- +Với x2+xy+y2-x-y=0.Ta có =(1-y)(1+3y) 0 => 
 Tương tự 
 Suy ra x3+y2 1+1=2 vô lý (do dấu bằng không đồng thời xảy ra)
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1). 
 b) Giải: Ta có .= = = 
 =
 Vậy P =  
 = + ++ = < .
Bài 4: Cho a,b,c là các số thực thỏa .
 Chứng minh rằng: .
 Giải: 
 Ta có P = 
 P = 6a3-a4+ 6b3-b4+6c3-c4 
 => p- 9.18 = -(a2-3a)2-(b2-3b)2-(c2-3c)2 0
 => p 9.18=162 ( dấu bằng xảy ra khi có hai số bằng 3, một số bằng 0).
 Mặt khác từ giả thiết => 0 4.
 => a(4-a)(a-1)2 0 -a4+6a3-9a2+4a 0
 3 4 2
 => 6a -a 9a -4a
 Do đó p 9(a2+b2+c2) - 4(a+b+c) = 138 (dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 1 và một số bằng 
4).
Bài 5 : Cho điểm M thuộc cung nhỏ DC của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Chứng minh rằng MA(MA+MC)=MB(MB+MD).
 Giải: Đặt , ,
 A B ta có a+b =450 và 
 MD=2Rsina
 0
 a MA=2Rsin(90 -b)=2Rcosb
 b MB=2Rcosa
 MC=2Rsinb.
 Từ đó MA(MA+MC)=4R2cos2b+ 4R2sinbcosb 
 =4R2cosb(cosb+sinb)= 4 R2cosbcos(450- b)
 =4 R2cosbcosa.
 D C MB(MB+MD)=4R2cos2a+ 4R2sinacosa 
 M =4R2cosa(cosa+sina) = 4 R2cosacos(450- a)