Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Phan Chu Trinh (Có đáp án)

 Sở Giáo dục & Đào tạo Phú yên ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020
 Trường THPT Phan Chu Trinh MÔN TOÁN 11 
 -------------- Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) 
 -------------------------
 BÀI 1:(4đ) 
 Tìm tất cả giá trị a dương để phương trình : + + 1 + + 1 = 2 có nghiệm. 
 2 4
 BÀI 2:(4đ) 
 + = 1
 Cho các số thực a,b,x,y thỏa + = 3 .Chứng minh rằng nếu x,y là số tự nhiên thì x+y ≥ 10. 
 2 + 2 = 5
 BÀI 3:(3đ)
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có độ dài các cạnh AB=25,BC=39,CD=52,DA=60. 
 Chứng minh rằng BD là đường kính của (O). 
 BÀI 4:(3đ) 
 2 2 2 2 1 1
 Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa và a . Chứng minh rằng: .
 : 0 ≤ ≤ ≤ ≥ 2
 BÀI 5:(3đ) 
 2 2 2 13
 Cho hai số thực dương a,b thỏa . Chứng minh rằng với mọi số thực c ta có : .
 ≥ 5 ( )2 ≥ 31
 BÀI 6:(3đ) 
 Chứng minh rằng: | 표푠 | + | 표푠 | + |cos ( + )| ≥ 1,∀ , ∈ ; . 
 2 2
 --------***-------- =>2ad ≤ 2-3(a2+d2) ≤ 2+6ad
 1
 =>ad .(đpcm)
 ≥ 2
 2 2 2 13
Bài 5: Cho hai số thực dương a,b thỏa . Chứng minh rằng với mọi số thực c ta có : .
 ≥ 5 ( )2 ≥ 31
 Giải: BĐT 31( 2 + 2 + 2) ≥ 13( + + )2.
 18 2 ―26( + ) + 18 2 +18 2 ―26 ≥ 0
 Ta có ∆′ = 169( + )2 ―18( 18 2 +18 2 ―26 )
 = ―155 2 ―155 2 +806 
 = ―31( ― 5 )(5 ― )
 Vì a ≥ 5b>0 =>5a>b =>∆′ ≤ 0.Vậy BĐT đúng với mọi c.
BÀI 6:(3đ) Chứng minh rằng | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )| ≥ 1,∀ , ∈ ; Giải: Nếu xy ≥ 0 
 2 2
do hàm số cosx chẵn nên chỉ xét x,y>0
 TH: x+y ≤ 2. Ta có | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )|=cosx+cosy+cos(x+y)
 =2 표푠 표푠 +cos(x+y) ≥ 2. 2. 2 +cos(x+y) ≥ 1. 
 2 2 2 2
 TH: x+y > 2. Ta có | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )|=cosx+cosy-cos(x+y)
 = 2 표푠 표푠 ― 2 표푠2 +1=2 표푠 표푠 ― 표푠 
 2 2 2 2 2 2
≥ 1(đpcm).
 Nếu xy<0 bằng cách đặt lại ta có | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )|=cosx+cosy+cos(x-y)
 =cosx+2 표푠2.cos (y ― 2)(giả thiết rằng 0<y ≤ ≤ 2)
≥ 표푠 + 2. 2. 2 ≥ 1 (do < ― ≤ ≤ )
 2 2 2 2 2 4
 HẾT
 (3đ) 
 TH: x+y ≤ 2. Ta có | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )| 
 1đ
 =cosx+cosy+cos(x+y) =2 표푠 표푠 +cos(x+y) ≥ 2. 2. 2 +cos(x+y) ≥ 1. 
 2 2 2 2
 TH: x+y > 2. Ta có | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )|
 1đ
 2
 =cosx+cosy-cos(x+y)= 2 표푠 2 표푠 2 ― 2 표푠 2 +1 = 2 표푠 2
 표푠 ― 표푠 ≥ 1(đpcm).
 2 2
 Nếu xy<0 bằng cách đặt lại ta có | 표푠 | + | 표푠 | + |cos( + )| 
 =cosx+cosy+cos(x-y) = cosx+2 표푠 .cos ― (giả thiết rằng 0<y ≤ ≤ )
 2 2 2
 1đ
 ≥ 표푠 + 2. 2. 2 ≥ 1 (do < ― ≤ ≤ )
 2 2 2 2 2 4