Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Phan Bội Châu

 TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU
 TỔ TOÁN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2017 - 2018
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
 Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
 1 1 1
 - Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim 0 , lim 0 , lim 0 , lim qn 0 với |q| < 1
 n n 3 n
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
 1
 - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limun = + thì lim 0
 un
 limu limv = L lim(u v un
 n n n n) Limu =L lim v Dấu của lim
 n n v v
 L >0 n n
 L >0 + 
 L < 0 
 L > 0 - 
 0
 L >0 L < 0 + 
 L < 0 L < 0 - 
 - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
 1
 +) Nếu lim f x thì lim 0
 x x0 x x0 f x 
 lim f (x) lim g(x) lim f (x).g(x) lim f (x) lim g(x) f (x)
 x x x x Dấu của 
 x x0 x x0 x x0 0 0 lim
 g(x) x x0 g(x)
 + ∞ L > 0 + ∞
 + + ∞
 - ∞ - ∞ L > 0
 - - ∞
 0
 + ∞ L < 0 - ∞ + - ∞
 L < 0
 - ∞ + ∞ - + ∞
Phương pháp chung:
 - Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
 1. lim C C (C = const)
 x x0
 2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì lim f (x) f (x0 )
 x x0
 1 a)lim(3n2 n 1) b)lim( 2n4 n2 n 3) c)lim 3n2 nsin 2n d)lim 3n2 n 1
e)lim 2.3n 5.4n f )lim 3n2 1 2n g)lim n2 1 n h)lim n2 n n 
i)lim 3n2 6n 1 7n k)lim n n 1 n l)lim n2 3n n m)lim 3 n3 n2 n 
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) - g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
 n
 1 1 1 2 2 2
Bài 5: Tính tổng 1/ S 1 ... ... 2/ S = 1 ... ...
 10 102 10n 1 100 1002 100n
 n 1
 1 1 1 1 
 3/ , , ,..., ,...
 3 9 27 3n
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
 n 1 n 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 a) 1, , , ,..., ,... b) 1, , , ,..., ,...
 2 4 8 2 3 9 27 3 
 ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
 2 x 1 2x 1 1 x
 1, lim x 5 1 2, lim 3, lim 4, lim 2
 x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 4 (x 4)
 x2 2x 3 2 x 2x3 3x 4
 5, lim ( x3 x2 x 1) 6, lim 7, lim 8, lim
 x x 1 2x2 x 1 x 2 x 7 3 x x3 x2 1
 x2 x 4x2 1 1 1 
 9, lim 10, lim 1 11, lim ( 4x2 x 2x)
 x 2x 3 x 0 x x 1 x 
 x 3 2x3 5x2 2x 3
 12, lim x2 x x2 1 13, lim 14, lim
 x x 1 x2 2x 3 x 3 4x3 13x2 4x 3
 (x 3)3 27 x 2 2 2 x 3
 15, lim 16, lim 17, lim
 x 0 x x 2 x 7 3 x 7 x2 49
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
 x3 5x 1 3x3 2 5x3 x2 1
a) lim b) lim c) lim 
 x 2x3 3x2 1 x 2x 1 x 3x2 x
 x5 2x3 4x 5x2 1 x2 2x 4x2 1
 d) lim e) lim f) lim 
 x 1 3x2 2x3 x 2x3 3x2 1 x 2 5x
 ĐS: a) -1/2 b) - c) - d) - e) 0 f) -1/5
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a. ):
a) lim ( 2x3 x2 3x 1) b) lim ( x4 x3 5x 3) c) lim 4x2 x 2
 x x x 
d) lim x2 3x 2 e) lim 3x2 x 2x f) lim 2x2 x x
 x x x 
 ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) + 
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
 x 1 1 x 2x 1 2x 1 2 x x 3x 1
a) lim b) lim 2 c) lim d) lim e) lim 2 f) lim
 x 3 x 3 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 0 x x x 1 x 1
 ĐS: a) - b) - c) + d) + e) 1 f) + 
 0
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
 0
 3 x2 4 x2 4x 3
 khi x -2 khi x<3
a) f (x) x 2 tại x0 = -2 b) f (x) x 3 tại x0 = 3 
 4 khi x -2 5 khi x 3
 2x2 3x 5 2 x 1
 khi x 1 khi x 3
c) f (x) x 1 tại x0 = 1 d) f (x) 3 x tại x0 = 3 
 7 khi x 1 3 khi x 3
 x2 2 x 2
 khi x 2 khi x 2
e/ f (x) x 2 tại x0 = 2 f) f (x) x 1 1 tại x0 = 2
 2 2 khi x 2 3x 4 khi x 2
 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 3: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
 x2 x 2
 khi x 1 x2 khi x 1
a) f x x 1 với x0 = -1 b) f (x) với x0 = 1
 2ax 3 khi x 1
 a khi x 1
 x 7 3
 khi x 2 3x2 1 khi x 1
c) f (x) x 2 với x0 = 2 d) f (x) với x0 = 1
 2a 1 khi x 1
 a 1 khi x 2
 ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 4:
 a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x3 10x 7 0
 b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3 1000x 0,1 0
 c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
 2
 d) Chứng minh phương trình x sin x x cos x 1 0 có ít nhất một nghiệm x0 0; . 
 e) Chứng minh phương trình m x 1 3 x 2 2x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 8:
 a) x4 5x 2 0 có ít nhất một nghiệm. b) x5 3x 7 0 có ít nhất một nghiệm.
 c) 2x3 3x2 5 0 có ít nhất một nghiệm d) 2x3 10x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm.
 e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
 f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
 g) x3 3x2 1 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 h) 1 m2 x 1 3 x2 x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
 i) m x 1 3 x2 4 x4 3 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m. 
 CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
 5 x 2
 1. y x 3 2x 1 2. y 2x 5 3 3. y 10x 4 4. y (x 3 2)(x 1)
 2 x 2
 2x
 5. y 5x 2 (3x 1) 6. y (x 2 5) 3 7. y (x 2 1)(5 3x 2 ) 8. y 
 x 2 1
 2x 2 6x 5 5x 3
9. y 10. y 11. y x 2 6x 7 12. y x 1 x 2 
 2x 4 x 2 x 1
 x 2 2x 3
13. y (x 1) x 2 x 1 14. y 15) y (x7 x)2 16) y x2 3x 2 
 2x 1
 1 x 1 1 x
17) y 18) y 19/ y= x 1 x 2 20/ y= 
 1 x x x 1 x
21/ y= (2x+3)10 22/ y= x (x2- x +1) 23/ y= (x2+3x-2)20
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = 5sinx - 3cosx 2) y = x.cotx 3) y cos x.sin 2 x 4) y = cos ( x3 ) 5) y 3sin 2 x.sin 3x
 x 
6) y sin 4 7) y cot3 (2x ) 8) y 2 tan2 x 9) y = sin4 p - 3x 
 2 4
 x
10) y 1 cos2 11) y (1 cot x) 2 12) y cot 3 1 x2 13) y= sin(sinx) 
 2
 sin x cos x 1 sin x 1
14) y sin2 (cos3x) 15) y 16) y- 17) y 
 sin x cos x 2 sin x (1 sin 2 2x) 2
 xsin x sin x x x 1
18) y 19) y 20) y tan 
 1 tan x x sin x 2
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
 2
 ax b ax bx c ax 2 bx c
 y y y 
 cx d dx e mx 2 nx p
 3x 4 x 2 x 2 x 2 3x 4
 Áp dung: y y y 
 2x 1 2x 1 2x 2 x 3
 1
Bài 5: Cho hai hàm số : f (x) sin4 x cos4 x và g(x) cos 4x Chứng minh rằng: f '(x) g'(x) (x ).
 4
Bài 6: Cho y x 3 3x 2 2 . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 
 x 0
 ĐS: a) b) 1 2 x 1 2
 x 2
Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
 a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = 3 sin x cos x x
 c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 
Bài 8: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)
 x 3
Bài 9: a) y ; CMR :2y'2 (y 1)y" b) y 2x x2 ; CMR : y3y" 1 0 
 x 4
 sin 3 x cos3 x
 c) Cho hàm số y = ; CMR: y’' = - y d) Cho y = x 3 ; CMR: 2(y’)2 =(y -1)y’’
 1 sin x.cosx x 4
 2
 1 3 cos x 
 e) Cho y = cot x cot x x 3 7 ; y’ = cot4x f) Cho f(x)= ; f( ) 3f'( ) 3
 3 1 sin 2 x 4 4
 g) Chứng tỏ hàm y = acosx + bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0 
 x2 2x 2
 h) Cho hàm số: y . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
 2
Bài 10: Chứng minh rằng f '(x) 0 x  , biết:
 7