Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 8

 Chủ đề 1: Nhõn đa thức.
Bài 1: Thực hiện phộp nhõn.
 a. 2x 2 . x 3 3x 2 x 1 
 2 1 1 
 b. 10x 3 y z . xy 
 5 3 2 
Giải:
 a. 2x 2 . x 3 3x 2 x 1 = 2x 5 6x 4 2x 3 2x 2
 2 1 1 1 1
 b. 10x 3 y z . xy = 5x 4 y xy 2 xyz
 5 3 2 5 6
Bài 2: Chứng tỏ rằng cỏc đa thức khụng phụ thuộc vào biến.
a. x 2x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 
b. 4 x 6 x 2 2 3x x 5x 4 3x 2 x 1 
Giải:
a. x 2x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 = 
 = 2x 2 x x 3 2x 2 x 3 x 3 3
 Vậy đa thức khụng phụ thuộc vào biến x.
b. 4 x 6 x 2 2 3x x 5x 4 3x 2 x 1 =
 = 4x 24 2x 2 3x 3 5x 2 4x 3x 3 3x 2 24
 Vậy đa thức khụng phụ thuộc vào biến x.
Bài 3: Tớnh giỏ trị của biểu thức sau khi thực hiện cỏc phộp toỏn.
a. 3x 10x 2 2x 1 6x 5x 2 x 2 với x = 15
 1 1
b. 5x x 4y 4y y 5x với x ; y 
 5 2
 1
c. 6xy xy y 2 8x 2 x y 2 5y 2 x 2 xy với x ; y 2
 2
Giải:
a. 3x 10x 2 2x 1 6x 5x 2 x 2 =
 =30x 3 6x 2 3x 30x 3 6x 2 12x 15x
 Thay x = 15 ta cú: 15x 15.15 225
b. 5x x 4y 4y y 5x 
 = 5x 2 20xy 4y 2 20xy
 = 5x 2 4y 2
 2 2
 1 1 1 1 4
 Thay x ; y 2 ta cú: 5. 4 1 
 2 5 2 5 5
 1 Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
 50x = - 100
 x = - 2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
 - 0,6x = 0,138
 x = 0,138 : (- 0,6)
 - 0,2
* Bài tập vỊ nhõn đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tớnh nhõn.
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
Giải:
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
 = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
 = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
Tiết 3:
Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau khụng phụ thuộc vào biến.
 (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
 = 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + 3 - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3
 Kết quả là một hằng số. Vậy đa thức trờn khụng phụ thuộc vào biến.
Bài 3: Cho x = y + 5. Tớnh
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
b. x2 + y(y - 2x) + 75
Giải: 
 a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
 Từ giả thiết x = y + 5 x - y = 5
 Ta cú: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
 3 Giải: C
Gọi O là giao điểm của hai đường chộo B
Trong tam giỏc AOD ta cú: 
AD < AO + OD (1) O 
Trong tam giỏc BOC ta cú 
BC < OC + BO (2) A D
Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta cú: 
AD + BC < AC + BD (3)
Theo đề ra: AC = AD nờn từ (3) BC < BD (đpcm)
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú AB = BC, CD = DA
a. CMR: BD là đường trung trực của AC
b. Chó biết gúc B = 1000, gúc D = 700.
 Tớnh gúc A và gúc C. A
Giải:
a. BA = BC (gt)
 DA = DC (gt) B D
 BD là đường trung trực của AC
 C
b. ABD CBD (c.c.c) 
 Gúc <BAD = <BCD (hai gúc tương ứng)
 ta lại cú: Gúc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D
 = 3600 - 1000 - 70 0 = 1900
 Do đú: Gúc <A = <C = 1900 : 2 = 95 0
Bài 3: Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc: ABCD biết rằng 
 Gúc <A : <B : <C : <D = 1 : 2 : 3 : 4
Giải:
 Theo tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau và tổng cỏc gúc của tứ giỏc ta cú:
 A B C D A B C D 3600
 360
 1 2 3 4 1 2 3 4 10
 Do đú: gúc <A = 360; < B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440
 Chủ đề 3: Hỡnh thang
Bài 1: Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang ABCD (AB//CD) biết rằng gúc <A = 3<D;
 <C = 300.
 5 Bài 5: Hỡnh thang cõn ABCD cú AB // CD. O là gia điểm của hai đường chộo. 
CMR: OA = OB, OC = OD A B
Giải:
Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn nờn 
AD = BC, <ADC = <BCD 
 ADC BCD (c.g.c) D C
 <C1 = <D1 OCD cõn OC = OD 
 Ta lại cú: AC = BD nờn OA = OB
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. trờn cỏc cạnh bờn AB, AC lấy cỏc điểm M, N 
sao cho BM = CN.
a. Tứ giỏc BMNC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b. Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc BMNC biết rằng <A = 400.
Giải:
a. Tam giỏc ABCD cõn tại A A
 1800 A
 <B = <C = 
 2
 Lại cú BM = CN (gt) AM = AN M N 
 AMN cõn tại A
 1800 A
 <M1 = <N1 = 
 2
 <B = <M1 do đú: MN //BC B C
 Vậy tứ giỏc BMNC là hỡnh thang 
 Lại cú: <B = <C nờn BMNC là hỡnh thang cõn.
 0 0
b. <B = <C = 70 , <M2 = <N2 = 110
Tiết 7:
Bài 7: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú O là giao điểm của hai đường thẳng chứa 
cạnh bờn AD, BC và E là giao điểm của hai đường chộo. CMR OE là đường trung 
trực của hai đỏy. 
Giải:O
ABCD là hỡnh thang cõn <D = <C
 ODC cõn OD = OC 
 mà AD = BC (gt) OA = OB A B
Vậy O thuộc đường trung trực của hai đỏy E
 ADC BCD (c.c.c) 
 7 Bài 10: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thự là trung điểm của AD, BC, 
AC. CMR
 a. EI // CD, IF // AB 
 b. b. EF < AB CD 
 2
Giải:
 Xột ADC cú: AE = ED 
 1
 AI = IC nờn EI // DC, EI = DC 
 2
 Tương tự ABC cú: AI = IC, BF = FC B
Nờn IF // AB, IF = 1 AB A
 2
b. Trong EFI ta cú: EF EI + IF K
 CD AB
 EF E
 2 2
 AB CD
 Vậy EF 
 2
 Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 11: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung 
điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho 
biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tớnh cỏc độ dài MI, IK, KN.
Giải:
 Vỡ MN là đường trung bỡnh của 
hỡnh thang ABCD nờn MN // AB // DC A B
Xột ADC cú AM = MD, MK // DC 
 KA = KC 
 DC 14
Do đú: MK = 7cm I K 
 2 2
Tương tự: ABD cú AM = MD, MI // AB D C
nờn BI = ID 
 1 6
Do đú: MI = AB 3cm 
 2 2
Từ đú ta cú: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xột ABC cú BN = NC, NK // AB
 1 6
 AK = KC Vậy KN = AB 3cm
 2 2
 9 ABCD là hỡnh thang vỡ: AB // CD
Ta cú: <D = 700, DC = 4cm, <C = <ABD <C = 500
Hỡnh thang ABCE cú hai cạnh bờn AE, BC song song 
Nờn AB = EC = 4 - 2 = 2cm
 Chủ đề 4: Cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ.
Bài 1: Biểu diễn cỏc đa thức sau dưới dạng bỡnh phương của một tổng.
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Giải: 
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
 = x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2
 = (x + y + 1)2
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
 = (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1)
 = (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1)
 = (u + 1 + v + 1)2
 = (u + v + 2)2
Bài 2: Điền đơn thức thớch hợp vào cỏc dấu *
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
Giải:
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
 (2x)3 + * + * + (3y)3
 8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3
 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
 (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3
 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
 x3 - 3x2 .2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3
 x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
Bài 3: Rỳt gọn biểu thức:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
 11 = (a2 + b2) (x2 + y2) = VT đpcm
b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
 VP = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
 = a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2
 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
 = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = VT đpcm
c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
 VT = (x + y)4 + x4 + y4
 = x2 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 + x4 + y4
 = 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2)
 = 2(x2 + y2 + xy)2 = VP đpcm
Bài 5: Trong hai số sau, số nào lớn hơn.
a. A = 1632 + 74. 163 + 372 bà B = 1472 - 94. 147 + 472
b. C = (22 + 42 + .... + 1002) - (12 + 32 + .... + 992) và 
c. D = 38. 78 - (214 + 1)
 2 2
d. E = x y và H = x y với x > y > 0
 x y x 2 y 2
Giải:
a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000
 B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000
 Vậy A > B
b. C = (22 - 12) + (42 - 32) + .... + (1002 - 992)
 (3 199).50
 = 3 + 7 + .... + 199 = 5050
 2
 D = (3 . 7)8 - (218 - 1) = 1
 Vậy D < C
 x y (x y)(x y) x 2 y 2 x 2 y 2
c. E = = H
 x y (x y) 2 x 2 y 2 2xy x 2 y 2
 (Vỡ x > y > 0)
Tiết 11:
Bài 6: Xỏc định cỏc hệ số a, b sao cho đa thức sau viết dưới dạng bỡnh phương 
của một đa thức nào đú.
a. x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b. x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1
Giải:
a. Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 
 13 5 25 25
Giải: A = x2 + 5x + 8 = x2 + 2. x. . 8
 2 4 4
 2
 5 7
 = x 
 2 4
 2 2
 5 5 7 7
 Vỡ x 0x nờn x 
 2 2 4 4
 7 5 5
 Vậy A cú giỏ trị nhỏ nhất là khi x 0 x 
 4 2 2
b. B = x(x - 6) = x2 - 6x
 = x2 + 6x + 9 - 9 = (x - 3)2 - 9
 Vỡ (x - 3)2 6x nờn (x - 2)2 - 9 9
 Vậy B cú giỏ trị nhỏ nhất là - 9 khi x - 3 = 0 x = 3
 Chủ đề 5: Phõn tớch đa thức thành nhõn tư.
A. Mục tiờu:
- ễn tập cho học sinh tớnh chất phõn phối của phộp nhõn đối với phộp cộng: 
 a(b + c) = ab + ac
- ễn tập cho học sinh nắm vững cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tư.
+ Đặt nhõn tư chung
+ Dựng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ.
+ Nhúm cỏc hạng tư
+ Phối hợp nhiều phương phỏp.
 Ngoài ra cho học sinh làm quen với nhiều phương phỏp khỏc như:
+ Tỏch một hạng tư thành nhiều hạng tư
+ Thờm bớt cựng một hạng tư thớch hợp.
+ Phương phỏp đặt biến phụ.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 12, 13, 14)
C. Thực hiện:
Tiết 12:
Bài 1: Phõn tớch đa thức thành nhõn tư bằng phương phỏp đặt nhõn tư chung.
a. 12xy - 4x2y + 8xy2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x)
Giải:
 15