Bài tâp Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình

 BÀI TÂP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 1. Các phương trình thường gặp
 a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).
  Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
 Phương pháp chung: 
- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
 c
 Chú ý: Nếu a 0, phương trình có nghiệm x = 
 a
 Nếu a = 0, c 0, phương trình vô nghiệm
 Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) 
 5 – x + 6 = 12 – 8x 
 – x + 8x = 12 – 11 
 7x = 1 
 1 1
 x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 
 7 7
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
 x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
 –2x = 7 (sai từ trên)
 x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là: 
 Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
 Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
 Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x 
 x – 2x + x = 9 
 0x = 7 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
 Trang 1 4x = 2
 x = 0,5
 Vậy: S = 0,5 
 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
 Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
 2 x x 1 2x 1 2 x x 1 x 2 x 1
 (4) 
 5 2 4 4 5 2 2 5 2
 Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
 (4) 0,2(2 x) 0,5x 0,25(1 2x) 0,25
 0,4 0,2x 0,5x 0,5 0,5x
 0,2x 0,1
  Phương trình tích 
 Phương pháp chung:
 Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x)  = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
 Cách giải: A(x).B(x).C(x)  = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x)  = 0. Ta thường biến đổi như sau:
 Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích. 
 - Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
 - Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
 Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5) = 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
 Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0
 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 
 3x = 2 hoặc 4x = – 5
 2 5
 x = hoặc x = 
 3 4
 2 5 
 Vậy S = ; 
 3 4 
 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
 2
 x 
 3x 2 0 3
 (3x – 2)(4x + 5) = 0  
 4x 5 0 5
 x 
 4
 Trang 3 x 2 1 2
Ví dụ 8: Giải phương trình (8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
 x 2 x x(x 2)
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
 x(x 2) 1(x 2) 2
 (8) 
 x(x 2) x(x 2)
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu là không chính xác)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
 x 0 x 0 
 x 1 0 x 1
 Vậy S = 0 ; 1  (kết luận dư nghiệm)
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “ ”không chính xác
 Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
 x(x 2) 1(x 2) 2
 (8) 
 x(x 2) x(x 2)
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
 x 0 x 0 
 x 1 0 x 1 
 Vậy S = 1  
 1 x 3
Ví dụ 9: Giải phương trình 3 (9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
 x 2 2 x
- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung 
của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải: ĐKXĐ: x 2 
 1 3(x 2) 3 x
 (9) 
 x 2 x 2
 1 + 3(x – 2) = 3 – x 
 1 + 3x – 6 = 3 – x 
 4x = 8
 Trang 5 1 1 1 1 
 (x 10) 0 
 9 8 7 6 
 x + 10 = 0
 x = –10 Vậy S = 10 
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó 
giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề 
xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1) 
 2009 2008 2007 2006
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
 x 1 x 2 x 3 x 4
 2) x 2006
 2011 2012 2013 2014
 x 1 x 2 x 3 x 2009 x 2010
 3) ... 2010
 2010 2009 2008 2 1
 x 1 x 2 x 3 x 4
 Hướng dẫn: 2) 1 1 1 1 x 2006 4
 2011 2012 2013 2014
 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 (x 2010)
 0
 2011 2012 2013 2014 1
 x 1 x 2 x 3 x 2009 x 2010
 3) ... 2010
 2010 2009 2008 2 1
 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011
 ... 0
 2010 2009 2008 2 1

 3 2 1
Ví dụ 14 Giải phương trình (BT.31.b/23) 
 (x 1)(x 2) (x 3)(x 1) (x 2)(x 3)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3
 (14) 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây 
không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác 
thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán phức tạp sau:
 3 2 1
 1) Ta có: (14) 
 x2 3x 2 x2 4x 3 x2 6x 5
* Ta có bài toán tương tự như sau:
 Trang 7 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
 b) Ta có: 
 3x > 2x + 5 3x - 2x > 5(Chuyển vế 2x và đổi dấu thành -2x) 
 x > 5. 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
 Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau: 
 Hoạt động 2 Giải các bất phương trình sau: 
 a) x + 12 > 21; b) -2x > -3x - 5. 
Quy tắc nhân với một số
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để biến đổi 
tương đương bất phương trình: 
 Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: 
 • Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương; 
 • Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
 • VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3; b) (có biểu diễn 
 tập nghiệm trên trục số). 
Lời giải a) Ta có: 
 0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2 (Nhân cả hai vế với 2) 
 x < 6. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= . 
b) Ta có: 
 (Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều) 
 x > -12. 
 Trang 9 "Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5". 
 VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình -4x + 12 < 0. 
 Lời giải Ta có: 
 -4x + 12 < 0 
 12 < 4x 
 12:4 < 4x : 4 
 3 < x. 
 Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3. 
Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn
 VÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. 
 Lời giải Ta có: 
 3x + 5 < 5x - 7 
 3x - 5x < -5 - 7 
 -2x < 12 
 -2x : (-2) > -12 : (-2) 
 x > 6. 
 Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6. 
 Hoạt động 6 Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - 2. 
 Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2  -0.6x > -1,8
 1,8
  x x < 3
 0,6
BÀI TẬP
8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình 
có cùng tập nghiệm). 
a) 
b) 
 Trang 11 a) x ≥ -2. Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ các điểm bên trái điểm -2 
 bằng các dấu "/" và giữ lại điểm -2 bằng dấu "[". 
 b) x < 4. Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ các điểm bên phải điểm 4 
 bằng các dấu "/" và gạch bỏ điểm 4 bằng dấu ")". 
Bất phương trình tương đương
Bất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là . 
Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương 
đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó. 
VÍ DỤ 3. . 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương 
trình sau đây: 
 b) -4x > 2x 
a) 2x + 3 3x - 12. 
 + 5; 
2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau: 
 b) x ≤ - c) x > -
a) x < 4; d) x ≥ 1. 
 2; 3; 
3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ cần nêu một bất 
phương trình). 
a) 
b) 
c) 
d) 
 Bài tập kiểm tra
 Giải các phương trình và bất phương trình sau
 Trang 13