Bài tâp Toán Lớp 8 - Chương: Tam giác đồng dạng

 BÀI TÂP CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho ABC vuụng tại A, Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABD vuụng 
cõn ở B, ACF vuụng cõn ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của 
Ac và BF.
Chứng minh rằng:
 D
 A
a) AH = AK b) AH2 = BH. CK
 H
 F
Giải : Đặt AB = c, AC = b. K
BD // AC (cựng vuụng gúc với AB) 
 B C
 AH AC b AH b AH b
nờn 
 HB BD c HB c HB + AH b + c
 AH b AH b b.c
Hay AH (1)
 AB b + c c b + c b + c
 AK AB c AK c AK c
AB // CF (cựng vuụng gúc với AC) nờn 
 KC CF b KC b KC + AK b + c
 AK b AK c b.c
Hay AK (2)
 AC b + c b b + c b + c
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
 AH AC b AK AB c AH KC AH KC
b) Từ và suy ra (Vỡ AH = AK)
 HB BD c KC CF b HB AK HB AH
 AH2 = BH . KC
 Bài 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, 
DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
 1 1 1
a) AE2 = EK. EG b) 
 AE AK AG
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trớ nhưng vẫn qua A thỡ tớch BK. DG cú giỏ trị 
khụng đổi
Giải A a B
a) Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành và K BC nờn
 b K
 E
AD // BK, theo hệ quả của định lớ Ta-lột ta cú:
 D C G H
 D
 A
Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) 
 N
cỏc phõn giỏc BD, CE E
 G
 O
 P
a) Đường thẳng qua D và song song với BC Q
 C
 cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K
 M
 F
b) Chứng minh: CD > DE > BE B
 A
Giải a) BD là phõn giỏc nờn 
 AD AB AC AE AD AE
 = < = (1) K D
 DC BC BC EB DC EB
 E
 AD AK
Mặt khỏc KD // BC nờn (2)
 DC KB
 C
 AK AE AK + KB AE + EB M B
Từ (1) và (2) suy ra 
 KB EB KB EB
 AB AB
 KB > EB E nằm giữa K và B
 KB EB
b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. 
Ta cú Cã BD = Kã DB(Gúc so le trong) Kã BD = Kã DB
 mà E nằm giữa K và B nờn Kã DB > Eã DB Kã BD > Eã DB Eã BD > Eã DB EB < DE
Ta lại cú Cã BD + Eã CB = Eã DB + Dã EC Dã EC > Eã CB Dã EC > Dã CE (Vỡ Dã CE = Eã CB )
Suy ra CD > ED CD > ED > BE
Bài 5: Cho ABC cú Bà = 2 Cà , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tớnh AC
b)Nếu ba cạnh của tam giỏc trờn là ba số tự nhiờn liờn tiếp thỡ mỗi cạnh là bao nhiờu?A
Giải
 B
Cỏch 1: Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC E
 AC AD
 ACD ABC (g.g) 
 AB AC
 D
 AC2 AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) C
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm c) Từ cõu b suy ra Dà 1 = Dà 2 DO là phõn giỏc của cỏc gúc BDE
Củng từ cõu b suy ra Eà 1 = Eà 2 EO là phõn giỏc của cỏc gúc CED
c) Gọi OH, OI là khoảng cỏch từ O đến DE, CE thỡ OH = OI, mà O cố định nờn OH 
khụng đổi OI khụng đổi khi D di động trờn AB
Bài 7: Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường 
thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
 F
a) chứng minh DE + DF khụng đổi khi D di động trờn BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. K A
Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
 E
Giải
 DE BD BD
a) DE // AM = DE = .AM (1)
 AM BM BM
 D M
 B C
 DF CD CD CD
 DF // AM = DF = .AM = .AM (2)
 AM CM CM BM
Từ (1) và (2) suy ra 
 BD CD BD CD BC
DE + DF = .AM + .AM = + .AM = .AM = 2AM khụng đổi
 BM BM BM BM BM
 FK KA
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) = (3)
 AM CM
 EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA
 = = = (2)
 ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM
(Vỡ CM = BM)
 FK EK
Từ (1) và (2) suy ra FK = EK hay K là trung điểm của FE
 AM AM
Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần 
lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuụng gúc với AB, CF vuụng gúc với AD, BG vuụng gúc với 
AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng
 KM DM
a) IM. IN = ID2 b) = F
 KN DN
c) AB. AE + AD. AF = AC2
 D
 C
Giải I G
 M
 K
 A B E N 1 1 1
SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b)
 3 3 3
Từ (a) và (b) suy ra IK = GD hay k/ cỏch từ I, G đến BC bằng nhau nờn IG // BC
Bài 10: Cho điểm M di động trờn đỏy nhỏ AB của hỡnh thang ABCD, Gọi O là giao 
điểm của hai cạnh bờn DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm 
 OG OH
của OB và DM. CMR: Khi M di động trờn AB thỡ tổng + khụng đổi
 GD HC
Giải Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự ở I và K. Theo 
 OG OI OH OK OG OH OI OK IK
định lớ Talột ta cú: ; + 
 GD CD HC CD GD HC CD CD CD
 OG OH IK
 + (1)
 GD HC CD
Qua M vẽ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt IK, CD theo thứ tự ở P và Q, ta cú: 
 IK MP FO
 khụng đổi vỡ FO là khoảng cỏch từ O đến AB, MQ là đường cao của 
 CD MQ MQ
 OG OH FO
hỡnh thang nờn khụng đổi (2). Từ (1) và (2) suy ra + khụng đổi
 GD HC MQ
Bài 11: Cho tam giỏc ABC (AB < AC), phõn giỏc AD. Trờn AB lấy điểm M, trờn 
AC lấy điểm N sao cho BM = CN, gọi giao điểm của E
CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng song song với 
 A G
AD cắt AC, AB tại E và F.
 F
 M
Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA N
Giải. P O
 K
AD là phõn giỏc nờn Bã AD = Dã AF 
 B D I C
 Q
EI // AD Bã AD = Ã EF (gúc đồng vị)
 Mà Dã AF Oã FC (đồng vị); Ã FE = Oã FC (đối đỉnh)
Suy ra à EF à FE AFE cõn tại A AE =AF (a)
Aựp dụng định lớ Talột vào ACD , với I là giao điểm của EF với BC ta cú 
 CF CI CF CA CA BA
 = (1). AD là phõn giỏc của Bã AC nờn (2)
 CA CD CI CD CD BD
 CF BA
Từ (1) và (2) suy ra (3). Kẻ đường cao AG của AFE . BP // AG 
 CI BD ị AB2 =2BM2 hay mà AB2 = BH.BC (HS phải c/m); 
 BH BM
 = ãAHM = Dả = 450
 ị BH.BC = BE.BMị BE BC ị DBHM∽ DBEC∽ DADCị 2
 B
 Giả sử O là điểm nằm trong Ctứ giỏc thỏa món: SOBCD =SOBAD.
 D1
 h b Từ O kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại 
 ha
 A D1, cắt AC tại B1. Nối OC, OB, AC, BD 
 ho
 O và kẻ cỏc đường cao ha, hb, hc như hỡnh vẽ 
 B 1
 1 . Khi đú: SOBCD = SBCD+SBOD= BD.(h +h )
 2 c o
 D
 13 
 1
 BD(hc +ho )
 SBODA = SAB D1 +SD OB +SB OD = B1D1(ha +hb +hc ) Û =1 (1)
 1 1 1 2
 B1D1(ha +ho )
 BD h h +h
 Vỡ B D //BD nờn a Từ (1) và (2) c o
 1 1 = (2) Û =1Û hc +ho = ha
 B1D1 (ha +ho ) ha
 Từ đú HS lập luận suy ra B1D1 đi qua trrung điểm cuả AC.
 Vậy O nằm trờn đoạn B1D1//BD và đi qua trung điểm AC
Bài 14. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm 
của cỏc cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF.
 a. Chứng minh: Tứ giỏc EFGH là hỡnh vuụng.
 b. Chứng minh DF  CE và MAD cõn.
 c .Tớnh diện tớch MDC theo a. b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo 
thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.
 AH BH CH
 c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh: 6
 HE HF HG
 A
 F
 K
 G
 H
 I
 B E M C
 N
 D
 CE CA
 Ta cú AEC : BFC (g-g) nờn suy ra 
 CF CB
 CE CA
 Xột ABC và EFC cú và gúc C chung nờn suy ra ABC : EFC ( c-g-c)
 CF CB
 Vỡ CN //IK nờn HM  CN M là trực tõm HNC 
 MN  CH mà CH  AD (H là trực tõm tam giỏc ABC) nờn MN // AD
 Do M là trung điểm BC nờn NC = ND IH = IK ( theo Ta let)
 AH S S S S S S
 Ta cú: AHC ABH AHC ABH AHC ABH
 HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC
 BH S S CH S S
 Tương tự ta cú BHC BHA và BHC AHC
 BF SAHC CG SBHA
 AH BH CH SAHC SABH SBHC SBHA SBHC SAHC
 HE HF HG SBHC SAHC SBHA
 S S S S S S
 = AHC ABH BHC BHA + BHC AHC 6 . Dấu ‘=’ khi tam giỏc ABC đều, mà theo gt thỡ 
 SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA